updated variables in Lambda and LambdaProp
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2b01695f50
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2786ffb059
2 changed files with 65 additions and 69 deletions
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@ -93,12 +93,8 @@ correspond to introduction rules and deconstructors to eliminators.
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Here is the syntax of terms in BNF.
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L, M, N ::=
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⌊ x ⌋
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ƛ x ⇒ N
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L · M
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`zero
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`suc M
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`case L [zero⇒ M |suc x ⇒ N]
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⌊ x ⌋ | ƛ x ⇒ N | L · M |
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`zero | `suc M | `case L [zero⇒ M |suc x ⇒ N] |
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μ x ⇒ M
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And here it is formalised in Agda.
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@ -110,7 +106,6 @@ infix 6 ƛ_⇒_
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infix 6 μ_⇒_
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infixl 7 _·_
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infix 8 `suc_
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infix 9 ⌊_⌋
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data Term : Set where
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⌊_⌋ : Id → Term
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@ -41,6 +41,7 @@ open import Data.Sum using (_⊎_; inj₁; inj₂)
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open import Relation.Nullary using (¬_; Dec; yes; no)
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open import Function using (_∘_)
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open import plta.Lambda
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open Chain (Term) (_⟶_)
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\end{code}
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@ -398,36 +399,36 @@ _ : normalise 100 ⊢four ≡
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((μ "+" ⇒
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(ƛ "m" ⇒
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||||
(ƛ "n" ⇒
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||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒ `suc (# "+" · # "m" · # "n")
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||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒ `suc (⌊ "+" ⌋ · ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "n" ⌋)
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])))
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||||
· `suc (`suc `zero)
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||||
· `suc (`suc `zero)
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⟶⟨ ξ-·₁ (ξ-·₁ β-μ) ⟩
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(ƛ "m" ⇒
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||||
(ƛ "n" ⇒
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`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒
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`suc
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((μ "+" ⇒
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||||
(ƛ "m" ⇒
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||||
(ƛ "n" ⇒
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||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒ `suc (# "+" · # "m" · # "n")
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||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒ `suc (⌊ "+" ⌋ · ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "n" ⌋)
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||||
])))
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||||
· # "m"
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||||
· # "n")
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||||
· ⌊ "m" ⌋
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· ⌊ "n" ⌋)
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]))
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||||
· `suc (`suc `zero)
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||||
· `suc (`suc `zero)
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||||
⟶⟨ ξ-·₁ (β-ƛ· (V-suc (V-suc V-zero))) ⟩
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||||
(ƛ "n" ⇒
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||||
`case `suc (`suc `zero) [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒
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||||
`case `suc (`suc `zero) [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒
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||||
`suc
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||||
((μ "+" ⇒
|
||||
(ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒ `suc (# "+" · # "m" · # "n")
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒ `suc (⌊ "+" ⌋ · ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "n" ⌋)
|
||||
])))
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||||
· # "m"
|
||||
· # "n")
|
||||
· ⌊ "m" ⌋
|
||||
· ⌊ "n" ⌋)
|
||||
])
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||||
· `suc (`suc `zero)
|
||||
⟶⟨ β-ƛ· (V-suc (V-suc V-zero)) ⟩
|
||||
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@ -436,9 +437,9 @@ _ : normalise 100 ⊢four ≡
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|||
((μ "+" ⇒
|
||||
(ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒ `suc (# "+" · # "m" · # "n")
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒ `suc (⌊ "+" ⌋ · ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "n" ⌋)
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||||
])))
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||||
· # "m"
|
||||
· ⌊ "m" ⌋
|
||||
· `suc (`suc `zero))
|
||||
]
|
||||
⟶⟨ β-case-suc (V-suc V-zero) ⟩
|
||||
|
|
@ -446,7 +447,7 @@ _ : normalise 100 ⊢four ≡
|
|||
((μ "+" ⇒
|
||||
(ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒ `suc (# "+" · # "m" · # "n")
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒ `suc (⌊ "+" ⌋ · ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "n" ⌋)
|
||||
])))
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||||
· `suc `zero
|
||||
· `suc (`suc `zero))
|
||||
|
|
@ -454,30 +455,30 @@ _ : normalise 100 ⊢four ≡
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|||
`suc
|
||||
((ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒
|
||||
`suc
|
||||
((μ "+" ⇒
|
||||
(ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒ `suc (# "+" · # "m" · # "n")
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒ `suc (⌊ "+" ⌋ · ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "n" ⌋)
|
||||
])))
|
||||
· # "m"
|
||||
· # "n")
|
||||
· ⌊ "m" ⌋
|
||||
· ⌊ "n" ⌋)
|
||||
]))
|
||||
· `suc `zero
|
||||
· `suc (`suc `zero))
|
||||
⟶⟨ ξ-suc (ξ-·₁ (β-ƛ· (V-suc V-zero))) ⟩
|
||||
`suc
|
||||
((ƛ "n" ⇒
|
||||
`case `suc `zero [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒
|
||||
`case `suc `zero [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒
|
||||
`suc
|
||||
((μ "+" ⇒
|
||||
(ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒ `suc (# "+" · # "m" · # "n")
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒ `suc (⌊ "+" ⌋ · ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "n" ⌋)
|
||||
])))
|
||||
· # "m"
|
||||
· # "n")
|
||||
· ⌊ "m" ⌋
|
||||
· ⌊ "n" ⌋)
|
||||
])
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||||
· `suc (`suc `zero))
|
||||
⟶⟨ ξ-suc (β-ƛ· (V-suc (V-suc V-zero))) ⟩
|
||||
|
|
@ -487,9 +488,9 @@ _ : normalise 100 ⊢four ≡
|
|||
((μ "+" ⇒
|
||||
(ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒ `suc (# "+" · # "m" · # "n")
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒ `suc (⌊ "+" ⌋ · ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "n" ⌋)
|
||||
])))
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||||
· # "m"
|
||||
· ⌊ "m" ⌋
|
||||
· `suc (`suc `zero))
|
||||
]
|
||||
⟶⟨ ξ-suc (β-case-suc V-zero) ⟩
|
||||
|
|
@ -498,7 +499,7 @@ _ : normalise 100 ⊢four ≡
|
|||
((μ "+" ⇒
|
||||
(ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒ `suc (# "+" · # "m" · # "n")
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒ `suc (⌊ "+" ⌋ · ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "n" ⌋)
|
||||
])))
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||||
· `zero
|
||||
· `suc (`suc `zero)))
|
||||
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@ -507,15 +508,15 @@ _ : normalise 100 ⊢four ≡
|
|||
(`suc
|
||||
((ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒
|
||||
`suc
|
||||
((μ "+" ⇒
|
||||
(ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒ `suc (# "+" · # "m" · # "n")
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒ `suc (⌊ "+" ⌋ · ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "n" ⌋)
|
||||
])))
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||||
· # "m"
|
||||
· # "n")
|
||||
· ⌊ "m" ⌋
|
||||
· ⌊ "n" ⌋)
|
||||
]))
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||||
· `zero
|
||||
· `suc (`suc `zero)))
|
||||
|
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@ -523,15 +524,15 @@ _ : normalise 100 ⊢four ≡
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|||
`suc
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||||
(`suc
|
||||
((ƛ "n" ⇒
|
||||
`case `zero [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒
|
||||
`case `zero [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒
|
||||
`suc
|
||||
((μ "+" ⇒
|
||||
(ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒ `suc (# "+" · # "m" · # "n")
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒ `suc (⌊ "+" ⌋ · ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "n" ⌋)
|
||||
])))
|
||||
· # "m"
|
||||
· # "n")
|
||||
· ⌊ "m" ⌋
|
||||
· ⌊ "n" ⌋)
|
||||
])
|
||||
· `suc (`suc `zero)))
|
||||
⟶⟨ ξ-suc (ξ-suc (β-ƛ· (V-suc (V-suc V-zero)))) ⟩
|
||||
|
|
@ -542,9 +543,9 @@ _ : normalise 100 ⊢four ≡
|
|||
((μ "+" ⇒
|
||||
(ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
`case # "m" [zero⇒ # "n" |suc "m" ⇒ `suc (# "+" · # "m" · # "n")
|
||||
`case ⌊ "m" ⌋ [zero⇒ ⌊ "n" ⌋ |suc "m" ⇒ `suc (⌊ "+" ⌋ · ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "n" ⌋)
|
||||
])))
|
||||
· # "m"
|
||||
· ⌊ "m" ⌋
|
||||
· `suc (`suc `zero))
|
||||
])
|
||||
⟶⟨ ξ-suc (ξ-suc β-case-zero) ⟩ `suc (`suc (`suc (`suc `zero))) ∎)
|
||||
|
|
@ -557,60 +558,60 @@ _ : normalise 100 ⊢fourᶜ ≡
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|||
normal 88
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||||
((ƛ "m" ⇒
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
(ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ # "m" · # "s" · (# "n" · # "s" · # "z")))))
|
||||
· (ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ # "s" · (# "s" · # "z")))
|
||||
· (ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ # "s" · (# "s" · # "z")))
|
||||
· (ƛ "n" ⇒ `suc # "n")
|
||||
(ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ ⌊ "m" ⌋ · ⌊ "s" ⌋ · (⌊ "n" ⌋ · ⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋)))))
|
||||
· (ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ ⌊ "s" ⌋ · (⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋)))
|
||||
· (ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ ⌊ "s" ⌋ · (⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋)))
|
||||
· (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋)
|
||||
· `zero
|
||||
⟶⟨ ξ-·₁ (ξ-·₁ (ξ-·₁ (β-ƛ· V-ƛ))) ⟩
|
||||
(ƛ "n" ⇒
|
||||
(ƛ "s" ⇒
|
||||
(ƛ "z" ⇒
|
||||
(ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ # "s" · (# "s" · # "z"))) · # "s" ·
|
||||
(# "n" · # "s" · # "z"))))
|
||||
· (ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ # "s" · (# "s" · # "z")))
|
||||
· (ƛ "n" ⇒ `suc # "n")
|
||||
(ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ ⌊ "s" ⌋ · (⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋))) · ⌊ "s" ⌋ ·
|
||||
(⌊ "n" ⌋ · ⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋))))
|
||||
· (ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ ⌊ "s" ⌋ · (⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋)))
|
||||
· (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋)
|
||||
· `zero
|
||||
⟶⟨ ξ-·₁ (ξ-·₁ (β-ƛ· V-ƛ)) ⟩
|
||||
(ƛ "s" ⇒
|
||||
(ƛ "z" ⇒
|
||||
(ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ # "s" · (# "s" · # "z"))) · # "s" ·
|
||||
((ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ # "s" · (# "s" · # "z"))) · # "s" · # "z")))
|
||||
· (ƛ "n" ⇒ `suc # "n")
|
||||
(ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ ⌊ "s" ⌋ · (⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋))) · ⌊ "s" ⌋ ·
|
||||
((ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ ⌊ "s" ⌋ · (⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋))) · ⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋)))
|
||||
· (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋)
|
||||
· `zero
|
||||
⟶⟨ ξ-·₁ (β-ƛ· V-ƛ) ⟩
|
||||
(ƛ "z" ⇒
|
||||
(ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ # "s" · (# "s" · # "z"))) · (ƛ "n" ⇒ `suc # "n")
|
||||
(ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ ⌊ "s" ⌋ · (⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋))) · (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋)
|
||||
·
|
||||
((ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ # "s" · (# "s" · # "z"))) · (ƛ "n" ⇒ `suc # "n")
|
||||
· # "z"))
|
||||
((ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ ⌊ "s" ⌋ · (⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋))) · (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋)
|
||||
· ⌊ "z" ⌋))
|
||||
· `zero
|
||||
⟶⟨ β-ƛ· V-zero ⟩
|
||||
(ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ # "s" · (# "s" · # "z"))) · (ƛ "n" ⇒ `suc # "n")
|
||||
(ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ ⌊ "s" ⌋ · (⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋))) · (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋)
|
||||
·
|
||||
((ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ # "s" · (# "s" · # "z"))) · (ƛ "n" ⇒ `suc # "n")
|
||||
((ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ ⌊ "s" ⌋ · (⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋))) · (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋)
|
||||
· `zero)
|
||||
⟶⟨ ξ-·₁ (β-ƛ· V-ƛ) ⟩
|
||||
(ƛ "z" ⇒ (ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · ((ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · # "z")) ·
|
||||
((ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ # "s" · (# "s" · # "z"))) · (ƛ "n" ⇒ `suc # "n")
|
||||
(ƛ "z" ⇒ (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ((ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ⌊ "z" ⌋)) ·
|
||||
((ƛ "s" ⇒ (ƛ "z" ⇒ ⌊ "s" ⌋ · (⌊ "s" ⌋ · ⌊ "z" ⌋))) · (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋)
|
||||
· `zero)
|
||||
⟶⟨ ξ-·₂ V-ƛ (ξ-·₁ (β-ƛ· V-ƛ)) ⟩
|
||||
(ƛ "z" ⇒ (ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · ((ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · # "z")) ·
|
||||
((ƛ "z" ⇒ (ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · ((ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · # "z")) ·
|
||||
(ƛ "z" ⇒ (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ((ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ⌊ "z" ⌋)) ·
|
||||
((ƛ "z" ⇒ (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ((ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ⌊ "z" ⌋)) ·
|
||||
`zero)
|
||||
⟶⟨ ξ-·₂ V-ƛ (β-ƛ· V-zero) ⟩
|
||||
(ƛ "z" ⇒ (ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · ((ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · # "z")) ·
|
||||
((ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · ((ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · `zero))
|
||||
(ƛ "z" ⇒ (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ((ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ⌊ "z" ⌋)) ·
|
||||
((ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ((ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · `zero))
|
||||
⟶⟨ ξ-·₂ V-ƛ (ξ-·₂ V-ƛ (β-ƛ· V-zero)) ⟩
|
||||
(ƛ "z" ⇒ (ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · ((ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · # "z")) ·
|
||||
((ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · `suc `zero)
|
||||
(ƛ "z" ⇒ (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ((ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ⌊ "z" ⌋)) ·
|
||||
((ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · `suc `zero)
|
||||
⟶⟨ ξ-·₂ V-ƛ (β-ƛ· (V-suc V-zero)) ⟩
|
||||
(ƛ "z" ⇒ (ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · ((ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · # "z")) ·
|
||||
(ƛ "z" ⇒ (ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ((ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ⌊ "z" ⌋)) ·
|
||||
`suc (`suc `zero)
|
||||
⟶⟨ β-ƛ· (V-suc (V-suc V-zero)) ⟩
|
||||
(ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · ((ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · `suc (`suc `zero))
|
||||
(ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · ((ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · `suc (`suc `zero))
|
||||
⟶⟨ ξ-·₂ V-ƛ (β-ƛ· (V-suc (V-suc V-zero))) ⟩
|
||||
(ƛ "n" ⇒ `suc # "n") · `suc (`suc (`suc `zero)) ⟶⟨
|
||||
(ƛ "n" ⇒ `suc ⌊ "n" ⌋) · `suc (`suc (`suc `zero)) ⟶⟨
|
||||
β-ƛ· (V-suc (V-suc (V-suc V-zero))) ⟩
|
||||
`suc (`suc (`suc (`suc `zero))) ∎)
|
||||
(V-suc (V-suc (V-suc (V-suc V-zero))))
|
||||
|
|
@ -712,7 +713,7 @@ Suppose instead that we add a new term `foo` with the following
|
|||
reduction rules:
|
||||
|
||||
------------------- (Foo₁)
|
||||
(λ x ⇒ # x) ⟶ foo
|
||||
(λ x ⇒ ⌊ x ⌋) ⟶ foo
|
||||
|
||||
------------ (Foo₂)
|
||||
foo ⟶ true
|
||||
|
|
@ -807,7 +808,7 @@ false, give a counterexample.
|
|||
|
||||
|
||||
|
||||
#### Exercise: 2 stars, optional (stlc_variation7)
|
||||
#### Exercise : 2 stars, optional (stlc_variation7)
|
||||
|
||||
Suppose we add the following new rule to the typing relation
|
||||
of the STLC:
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue