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49786f5c5d
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@ -38,7 +38,7 @@ infix 6 S_
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infix 4 ƛ_
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data Type : Set where
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o : Type
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`ℕ : Type
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_⇒_ : Type → Type → Type
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data Env : Set where
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@ -47,58 +47,70 @@ data Env : Set where
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data _∋_ : Env → Type → Set where
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Z : ∀ {Γ} {A} →
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------------
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Γ , A ∋ A
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Z : ∀ {Γ} {A}
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----------
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→ Γ , A ∋ A
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S_ : ∀ {Γ} {A B} →
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Γ ∋ B →
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-----------
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Γ , A ∋ B
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S_ : ∀ {Γ} {A B}
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→ Γ ∋ B
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---------
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→ Γ , A ∋ B
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data _⊢_ : Env → Type → Set where
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⌊_⌋ : ∀ {Γ} {A} →
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Γ ∋ A →
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-------
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Γ ⊢ A
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⌊_⌋ : ∀ {Γ} {A}
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→ Γ ∋ A
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------
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→ Γ ⊢ A
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ƛ_ : ∀ {Γ} {A B} →
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Γ , A ⊢ B →
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------------
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Γ ⊢ A ⇒ B
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ƛ_ : ∀ {Γ} {A B}
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→ Γ , A ⊢ B
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----------
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→ Γ ⊢ A ⇒ B
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||||
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||||
_·_ : ∀ {Γ} {A B} →
|
||||
Γ ⊢ A ⇒ B →
|
||||
Γ ⊢ A →
|
||||
------------
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||||
Γ ⊢ B
|
||||
_·_ : ∀ {Γ} {A B}
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||||
→ Γ ⊢ A ⇒ B
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||||
→ Γ ⊢ A
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----------
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||||
→ Γ ⊢ B
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||||
`zero : ∀ {Γ}
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----------
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→ Γ ⊢ `ℕ
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`suc : ∀ {Γ}
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||||
→ Γ ⊢ `ℕ
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-------
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||||
→ Γ ⊢ `ℕ
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\end{code}
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||||
## Test examples
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\begin{code}
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||||
Ch : Type
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||||
Ch = (o ⇒ o) ⇒ o ⇒ o
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||||
Ch : Type → Type
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||||
Ch A = (A ⇒ A) ⇒ A ⇒ A
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||||
plus : ∀ {Γ} → Γ ⊢ Ch ⇒ Ch ⇒ Ch
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||||
plus : ∀ {Γ A} → Γ ⊢ Ch A ⇒ Ch A ⇒ Ch A
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||||
plus = ƛ ƛ ƛ ƛ ⌊ S S S Z ⌋ · ⌊ S Z ⌋ · (⌊ S S Z ⌋ · ⌊ S Z ⌋ · ⌊ Z ⌋)
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||||
two : ∀ {Γ} → Γ ⊢ Ch
|
||||
two : ∀ {Γ A} → Γ ⊢ Ch A
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||||
two = ƛ ƛ ⌊ S Z ⌋ · (⌊ S Z ⌋ · ⌊ Z ⌋)
|
||||
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||||
four : ∀ {Γ} → Γ ⊢ Ch
|
||||
four : ∀ {Γ A} → Γ ⊢ Ch A
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||||
four = ƛ ƛ ⌊ S Z ⌋ · (⌊ S Z ⌋ · (⌊ S Z ⌋ · (⌊ S Z ⌋ · ⌊ Z ⌋)))
|
||||
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||||
four′ : ∀ {Γ} → Γ ⊢ Ch
|
||||
four′ : ∀ {Γ A} → Γ ⊢ Ch A
|
||||
four′ = plus · two · two
|
||||
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||||
fromCh : ε ⊢ Ch `ℕ ⇒ `ℕ
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||||
fromCh = ƛ ⌊ Z ⌋ · (ƛ `suc ⌊ Z ⌋) · `zero
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||||
\end{code}
|
||||
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||||
# Denotational semantics
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||||
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||||
\begin{code}
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||||
⟦_⟧ᵀ : Type → Set
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||||
⟦ o ⟧ᵀ = ℕ
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||||
⟦ `ℕ ⟧ᵀ = ℕ
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||||
⟦ A ⇒ B ⟧ᵀ = ⟦ A ⟧ᵀ → ⟦ B ⟧ᵀ
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||||
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||||
⟦_⟧ᴱ : Env → Set
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||||
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@ -110,14 +122,16 @@ four′ = plus · two · two
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|||
⟦ S n ⟧ⱽ ⟨ ρ , v ⟩ = ⟦ n ⟧ⱽ ρ
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||||
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||||
⟦_⟧ : ∀ {Γ : Env} {A : Type} → Γ ⊢ A → ⟦ Γ ⟧ᴱ → ⟦ A ⟧ᵀ
|
||||
⟦ ⌊ n ⌋ ⟧ ρ = ⟦ n ⟧ⱽ ρ
|
||||
⟦ ƛ N ⟧ ρ = λ{ v → ⟦ N ⟧ ⟨ ρ , v ⟩ }
|
||||
⟦ L · M ⟧ ρ = (⟦ L ⟧ ρ) (⟦ M ⟧ ρ)
|
||||
⟦ ⌊ n ⌋ ⟧ ρ = ⟦ n ⟧ⱽ ρ
|
||||
⟦ ƛ N ⟧ ρ = λ{ v → ⟦ N ⟧ ⟨ ρ , v ⟩ }
|
||||
⟦ L · M ⟧ ρ = (⟦ L ⟧ ρ) (⟦ M ⟧ ρ)
|
||||
⟦ `zero ⟧ ρ = zero
|
||||
⟦ `suc M ⟧ ρ = suc (⟦ M ⟧ ρ)
|
||||
|
||||
_ : ⟦ four ⟧ tt ≡ ⟦ four′ ⟧ tt
|
||||
_ : ⟦ four {ε} {`ℕ} ⟧ tt ≡ ⟦ four′ {ε} {`ℕ} ⟧ tt
|
||||
_ = refl
|
||||
|
||||
_ : ⟦ four ⟧ tt suc zero ≡ 4
|
||||
_ : ⟦ fromCh · four ⟧ tt ≡ 4
|
||||
_ = refl
|
||||
\end{code}
|
||||
|
||||
|
|
@ -127,13 +141,15 @@ _ = refl
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|||
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||||
\begin{code}
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||||
rename : ∀ {Γ Δ} → (∀ {C} → Γ ∋ C → Δ ∋ C) → (∀ {C} → Γ ⊢ C → Δ ⊢ C)
|
||||
rename ρ (⌊ n ⌋) = ⌊ ρ n ⌋
|
||||
rename {Γ} {Δ} ρ (ƛ_ {A = A} N) = ƛ (rename {Γ , A} {Δ , A} ρ′ N)
|
||||
rename σ (⌊ n ⌋) = ⌊ σ n ⌋
|
||||
rename {Γ} {Δ} σ (ƛ_ {A = A} N) = ƛ (rename {Γ , A} {Δ , A} σ′ N)
|
||||
where
|
||||
ρ′ : ∀ {C} → Γ , A ∋ C → Δ , A ∋ C
|
||||
ρ′ Z = Z
|
||||
ρ′ (S k) = S (ρ k)
|
||||
rename ρ (L · M) = (rename ρ L) · (rename ρ M)
|
||||
σ′ : ∀ {C} → Γ , A ∋ C → Δ , A ∋ C
|
||||
σ′ Z = Z
|
||||
σ′ (S k) = S (σ k)
|
||||
rename σ (L · M) = (rename σ L) · (rename σ M)
|
||||
rename σ (`zero) = `zero
|
||||
rename σ (`suc M) = `suc (rename σ M)
|
||||
\end{code}
|
||||
|
||||
## Substitution
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||||
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|
@ -147,57 +163,66 @@ subst {Γ} {Δ} ρ (ƛ_ {A = A} N) = ƛ (subst {Γ , A} {Δ , A} ρ′ N)
|
|||
ρ′ Z = ⌊ Z ⌋
|
||||
ρ′ (S k) = rename {Δ} {Δ , A} S_ (ρ k)
|
||||
subst ρ (L · M) = (subst ρ L) · (subst ρ M)
|
||||
subst ρ (`zero) = `zero
|
||||
subst ρ (`suc M) = `suc (subst ρ M)
|
||||
|
||||
substitute : ∀ {Γ A B} → Γ , A ⊢ B → Γ ⊢ A → Γ ⊢ B
|
||||
substitute {Γ} {A} N M = subst {Γ , A} {Γ} ρ N
|
||||
_[_] : ∀ {Γ A B} → Γ , A ⊢ B → Γ ⊢ A → Γ ⊢ B
|
||||
_[_] {Γ} {A} N M = subst {Γ , A} {Γ} ρ N
|
||||
where
|
||||
ρ : ∀ {C} → Γ , A ∋ C → Γ ⊢ C
|
||||
ρ Z = M
|
||||
ρ (S k) = ⌊ k ⌋
|
||||
\end{code}
|
||||
|
||||
## Normal
|
||||
## Value
|
||||
|
||||
\begin{code}
|
||||
data Normal : ∀ {Γ} {A} → Γ ⊢ A → Set
|
||||
data Neutral : ∀ {Γ} {A} → Γ ⊢ A → Set
|
||||
data Value : ∀ {Γ A} → Γ ⊢ A → Set where
|
||||
|
||||
data Normal where
|
||||
ƛ_ : ∀ {Γ} {A B} {N : Γ , A ⊢ B} → Normal N → Normal (ƛ N)
|
||||
⌈_⌉ : ∀ {Γ} {A} {M : Γ ⊢ A} → Neutral M → Normal M
|
||||
Zero : ∀ {Γ} →
|
||||
-----------------
|
||||
Value (`zero {Γ})
|
||||
|
||||
data Neutral where
|
||||
⌊_⌋ : ∀ {Γ} {A} → (n : Γ ∋ A) → Neutral ⌊ n ⌋
|
||||
_·_ : ∀ {Γ} {A B} → {L : Γ ⊢ A ⇒ B} {M : Γ ⊢ A} → Neutral L → Normal M → Neutral (L · M)
|
||||
Suc : ∀ {Γ} {V : Γ ⊢ `ℕ}
|
||||
→ Value V
|
||||
--------------
|
||||
→ Value (`suc V)
|
||||
|
||||
Fun : ∀ {Γ A B} {N : Γ , A ⊢ B}
|
||||
---------------------------
|
||||
→ Value (ƛ N)
|
||||
\end{code}
|
||||
|
||||
Here `` `zero `` requires an implicit parameter to aid inference
|
||||
(much in the same way that `[]` did in [Lists](Lists)).
|
||||
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||||
## Reduction step
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||||
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||||
\begin{code}
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||||
infix 2 _⟶_
|
||||
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||||
data _⟶_ : ∀ {Γ} {A} → Γ ⊢ A → Γ ⊢ A → Set where
|
||||
data _⟶_ : ∀ {Γ A} → (Γ ⊢ A) → (Γ ⊢ A) → Set where
|
||||
|
||||
ξ₁ : ∀ {Γ} {A B} {L L′ : Γ ⊢ A ⇒ B} {M : Γ ⊢ A} →
|
||||
L ⟶ L′ →
|
||||
-----------------
|
||||
L · M ⟶ L′ · M
|
||||
ξ-⇒₁ : ∀ {Γ A B} {L L′ : Γ ⊢ A ⇒ B} {M : Γ ⊢ A}
|
||||
→ L ⟶ L′
|
||||
-----------------
|
||||
→ L · M ⟶ L′ · M
|
||||
|
||||
ξ₂ : ∀ {Γ} {A B} {V : Γ ⊢ A ⇒ B} {M M′ : Γ ⊢ A} →
|
||||
Normal V →
|
||||
M ⟶ M′ →
|
||||
----------------
|
||||
V · M ⟶ V · M′
|
||||
ξ-⇒₂ : ∀ {Γ A B} {V : Γ ⊢ A ⇒ B} {M M′ : Γ ⊢ A}
|
||||
→ Value V
|
||||
→ M ⟶ M′
|
||||
----------------
|
||||
→ V · M ⟶ V · M′
|
||||
|
||||
ζ : ∀ {Γ} {A B} {N N′ : Γ , A ⊢ B} →
|
||||
N ⟶ N′ →
|
||||
------------
|
||||
ƛ N ⟶ ƛ N′
|
||||
β-⇒ : ∀ {Γ A B} {N : Γ , A ⊢ B} {W : Γ ⊢ A}
|
||||
→ Value W
|
||||
---------------------
|
||||
→ (ƛ N) · W ⟶ N [ W ]
|
||||
|
||||
β : ∀ {Γ} {A B} {N : Γ , A ⊢ B} {W : Γ ⊢ A} →
|
||||
Normal W →
|
||||
----------------------------
|
||||
(ƛ N) · W ⟶ substitute N W
|
||||
ξ-ℕ : ∀ {Γ} {M M′ : Γ ⊢ `ℕ}
|
||||
→ M ⟶ M′
|
||||
------------------
|
||||
→ `suc M ⟶ `suc M′
|
||||
\end{code}
|
||||
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||||
## Reflexive and transitive closure
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||||
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@ -208,17 +233,17 @@ infix 1 begin_
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|||
infixr 2 _⟶⟨_⟩_
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||||
infix 3 _∎
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||||
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||||
data _⟶*_ : ∀ {Γ} {A} → Γ ⊢ A → Γ ⊢ A → Set where
|
||||
data _⟶*_ : ∀ {Γ A} → (Γ ⊢ A) → (Γ ⊢ A) → Set where
|
||||
|
||||
_∎ : ∀ {Γ} {A} (M : Γ ⊢ A) →
|
||||
-------------
|
||||
M ⟶* M
|
||||
_∎ : ∀ {Γ A} (M : Γ ⊢ A)
|
||||
--------
|
||||
→ M ⟶* M
|
||||
|
||||
_⟶⟨_⟩_ : ∀ {Γ} {A} (L : Γ ⊢ A) {M N : Γ ⊢ A} →
|
||||
L ⟶ M →
|
||||
M ⟶* N →
|
||||
---------
|
||||
L ⟶* N
|
||||
_⟶⟨_⟩_ : ∀ {Γ A} (L : Γ ⊢ A) {M N : Γ ⊢ A}
|
||||
→ L ⟶ M
|
||||
→ M ⟶* N
|
||||
---------
|
||||
→ L ⟶* N
|
||||
|
||||
begin_ : ∀ {Γ} {A} {M N : Γ ⊢ A} → (M ⟶* N) → (M ⟶* N)
|
||||
begin M⟶*N = M⟶*N
|
||||
|
|
@ -228,10 +253,11 @@ begin M⟶*N = M⟶*N
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|||
## Example reduction sequences
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||||
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||||
\begin{code}
|
||||
{-
|
||||
id : ∀ (A : Type) → ε ⊢ A ⇒ A
|
||||
id A = ƛ ⌊ Z ⌋
|
||||
|
||||
_ : id (o ⇒ o) · id o ⟶* id o
|
||||
_ : ∀ {A} → id (A ⇒ A) · id A ⟶* id A
|
||||
_ =
|
||||
begin
|
||||
(ƛ ⌊ Z ⌋) · (ƛ ⌊ Z ⌋)
|
||||
|
|
@ -240,7 +266,7 @@ _ =
|
|||
∎
|
||||
|
||||
|
||||
_ : four′ {ε} ⟶* four {ε}
|
||||
_ : four′ {ε} {`ℕ} ⟶* four {ε} {`ℕ}
|
||||
_ =
|
||||
begin
|
||||
plus · two · two
|
||||
|
|
@ -257,12 +283,14 @@ _ =
|
|||
⟶⟨ ζ (ζ (ξ₂ ⌈ ⌊ S Z ⌋ ⌉ (ξ₂ ⌈ ⌊ S Z ⌋ ⌉ (β ⌈ ⌊ Z ⌋ ⌉)))) ⟩
|
||||
ƛ ƛ ⌊ S Z ⌋ · (⌊ S Z ⌋ · (⌊ S Z ⌋ · (⌊ S Z ⌋ · ⌊ Z ⌋)))
|
||||
∎
|
||||
-}
|
||||
\end{code}
|
||||
|
||||
|
||||
## Progress
|
||||
|
||||
\begin{code}
|
||||
{-
|
||||
data Progress {Γ A} (M : Γ ⊢ A) : Set where
|
||||
step : ∀ (N : Γ ⊢ A) → M ⟶ N → Progress M
|
||||
done : Normal M → Progress M
|
||||
|
|
@ -278,12 +306,14 @@ progress (V · M) | done NmV with progress M
|
|||
progress (V · M) | done NmV | step M′ r = step (V · M′) (ξ₂ NmV r)
|
||||
progress (V · W) | done ⌈ NeV ⌉ | done NmW = done ⌈ NeV · NmW ⌉
|
||||
progress ((ƛ V) · W) | done (ƛ NmV) | done NmW = step (substitute V W) (β NmW)
|
||||
-}
|
||||
\end{code}
|
||||
|
||||
|
||||
## Normalise
|
||||
|
||||
\begin{code}
|
||||
{-
|
||||
data Normalise {Γ A} (M : Γ ⊢ A) : Set where
|
||||
out-of-gas : Normalise M
|
||||
normal : ∀ (N : Γ ⊢ A) → Normal N → M ⟶* N → Normalise M
|
||||
|
|
@ -295,6 +325,7 @@ normalise (suc n) L with progress L
|
|||
... | step M L⟶M with normalise n M
|
||||
... | out-of-gas = out-of-gas
|
||||
... | normal N NmN M⟶*N = normal N NmN (L ⟶⟨ L⟶M ⟩ M⟶*N)
|
||||
-}
|
||||
\end{code}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
|
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