diff --git a/src/builtin/heq.lean b/src/builtin/heq.lean
new file mode 100644
index 000000000..b860bbf81
--- /dev/null
+++ b/src/builtin/heq.lean
@@ -0,0 +1,48 @@
+import macros
+
+-- Heterogenous equality
+variable heq {A B : TypeU} : A → B → Bool
+infixl 50 == : heq
+
+universe H ≥ 1
+universe U ≥ H + 1
+definition TypeH := (Type H)
+
+axiom heq_eq {A : TypeH} (a : A) : a == a ↔ a = a
+
+definition to_eq {A : TypeH} {a : A} (H : a == a) : a = a
+:= (heq_eq a) ◂ H
+
+definition to_heq {A : TypeH} {a : A} (H : a = a) : a == a
+:= (symm (heq_eq a)) ◂ H
+
+theorem hrefl {A : TypeH} (a : A) : a == a
+:= to_heq (refl a)
+
+axiom hsymm {A B : TypeH} {a : A} {b : B} : a == b → b == a
+
+axiom htrans {A B C : TypeH} {a : A} {b : B} {c : C} : a == b → b == c → a == c
+
+axiom hcongr {A A' : TypeH} {B : A → TypeH} {B' : A' → TypeH} {f : ∀ x, B x} {f' : ∀ x, B' x} {a : A} {a' : A'} :
+      f == f' → a == a' → f a == f' a'
+
+axiom hfunext {A A' : TypeH} {B : A → TypeH} {B' : A' → TypeH} {f : ∀ x, B x} {f' : ∀ x, B' x} :
+      A = A' → (∀ x x', f x == f' x') → f == f'
+
+axiom hpiext {A A' : TypeH} {B : A → TypeH} {B' : A' → TypeH} :
+      A = A' → (∀ x x', B x == B' x') → (∀ x, B x) == (∀ x, B' x)
+
+axiom hallext {A A' : TypeH} {B : A → Bool} {B' : A' → Bool} :
+      A = A' → (∀ x x', B x == B' x') → (∀ x, B x) == (∀ x, B' x)
+
+variable cast {A B : TypeH} : A = B → A → B
+
+axiom cast_eq {A B : TypeH} (H : A = B) (a : A) : a == cast H a
+
+theorem cast_app {A A' : TypeH} {B : A → TypeH} {B' : A' → TypeH} {f : ∀ x, B x} {a : A} (Ha : A = A') (Hb : (∀ x, B x) = (∀ x, B' x)) :
+      cast Hb f (cast Ha a) == f a
+:= let s1 : cast Hb f == f  := hsymm (cast_eq Hb f),
+       s2 : cast Ha a == a  := hsymm (cast_eq Ha a)
+   in hcongr s1 s2
+
+