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Floris van Doorn 2014-12-03 19:29:01 -05:00 committed by Leonardo de Moura
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259
library/hott/path.lean
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@ -19,162 +19,158 @@ inductive path.{l} {A : Type.{l}} (a : A) : A → Type.{l} :=
idpath : path a a
namespace path
variables {A B C : Type} {P : A → Type} {x y z t : A}
notation a ≈ b := path a b
notation x ≈ y `:>`:50 A:49 := @path A x y
definition idp {A : Type} {a : A} := idpath a
definition idp {a : A} := idpath a
-- unbased path induction
definition rec' [reducible] {A : Type} {P : Π (a b : A), (a ≈ b) -> Type}
definition rec' [reducible] {P : Π (a b : A), (a ≈ b) -> Type}
(H : Π (a : A), P a a idp) {a b : A} (p : a ≈ b) : P a b p :=
path.rec (H a) p
definition rec_on' [reducible] {A : Type} {P : Π (a b : A), (a ≈ b) -> Type} {a b : A} (p : a ≈ b)
definition rec_on' [reducible] {P : Π (a b : A), (a ≈ b) -> Type} {a b : A} (p : a ≈ b)
(H : Π (a : A), P a a idp) : P a b p :=
path.rec (H a) p
-- Concatenation and inverse
-- -------------------------
definition concat {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) : x ≈ z :=
definition concat (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) : x ≈ z :=
path.rec (λu, u) q p
definition inverse {A : Type} {x y : A} (p : x ≈ y) : y ≈ x :=
definition inverse (p : x ≈ y) : y ≈ x :=
path.rec (idpath x) p
notation p₁ ⬝ p₂ := concat p₁ p₂
notation p ⁻¹ := inverse p
-- In Coq, these are not needed, because concat and inv are kept transparent
-- definition inv_1 {A : Type} (x : A) : (idpath x)⁻¹ ≈ idpath x := idp
-- definition concat_11 {A : Type} (x : A) : idpath x ⬝ idpath x ≈ idpath x := idp
-- The 1-dimensional groupoid structure
-- ------------------------------------
-- The identity path is a right unit.
definition concat_p1 {A : Type} {x y : A} (p : x ≈ y) : p ⬝ idp ≈ p :=
definition concat_p1 (p : x ≈ y) : p ⬝ idp ≈ p :=
rec_on p idp
-- The identity path is a right unit.
definition concat_1p {A : Type} {x y : A} (p : x ≈ y) : idp ⬝ p ≈ p :=
definition concat_1p (p : x ≈ y) : idp ⬝ p ≈ p :=
rec_on p idp
-- Concatenation is associative.
definition concat_p_pp {A : Type} {x y z t : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) (r : z ≈ t) :
definition concat_p_pp (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) (r : z ≈ t) :
p ⬝ (q ⬝ r) ≈ (p ⬝ q) ⬝ r :=
rec_on r (rec_on q idp)
definition concat_pp_p {A : Type} {x y z t : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) (r : z ≈ t) :
definition concat_pp_p (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) (r : z ≈ t) :
(p ⬝ q) ⬝ r ≈ p ⬝ (q ⬝ r) :=
rec_on r (rec_on q idp)
-- The left inverse law.
definition concat_pV {A : Type} {x y : A} (p : x ≈ y) : p ⬝ p⁻¹ ≈ idp :=
definition concat_pV (p : x ≈ y) : p ⬝ p⁻¹ ≈ idp :=
rec_on p idp
-- The right inverse law.
definition concat_Vp {A : Type} {x y : A} (p : x ≈ y) : p⁻¹ ⬝ p ≈ idp :=
definition concat_Vp (p : x ≈ y) : p⁻¹ ⬝ p ≈ idp :=
rec_on p idp
-- Several auxiliary theorems about canceling inverses across associativity. These are somewhat
-- redundant, following from earlier theorems.
definition concat_V_pp {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) : p⁻¹ ⬝ (p ⬝ q) ≈ q :=
definition concat_V_pp (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) : p⁻¹ ⬝ (p ⬝ q) ≈ q :=
rec_on q (rec_on p idp)
definition concat_p_Vp {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : x ≈ z) : p ⬝ (p⁻¹ ⬝ q) ≈ q :=
definition concat_p_Vp (p : x ≈ y) (q : x ≈ z) : p ⬝ (p⁻¹ ⬝ q) ≈ q :=
rec_on q (rec_on p idp)
definition concat_pp_V {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) : (p ⬝ q) ⬝ q⁻¹ ≈ p :=
definition concat_pp_V (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) : (p ⬝ q) ⬝ q⁻¹ ≈ p :=
rec_on q (rec_on p idp)
definition concat_pV_p {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) : (p ⬝ q⁻¹) ⬝ q ≈ p :=
definition concat_pV_p (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) : (p ⬝ q⁻¹) ⬝ q ≈ p :=
rec_on q (take p, rec_on p idp) p
-- Inverse distributes over concatenation
definition inv_pp {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) : (p ⬝ q)⁻¹ ≈ q⁻¹ ⬝ p⁻¹ :=
definition inv_pp (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) : (p ⬝ q)⁻¹ ≈ q⁻¹ ⬝ p⁻¹ :=
rec_on q (rec_on p idp)
definition inv_Vp {A : Type} {x y z : A} (p : y ≈ x) (q : y ≈ z) : (p⁻¹ ⬝ q)⁻¹ ≈ q⁻¹ ⬝ p :=
definition inv_Vp (p : y ≈ x) (q : y ≈ z) : (p⁻¹ ⬝ q)⁻¹ ≈ q⁻¹ ⬝ p :=
rec_on q (rec_on p idp)
-- universe metavariables
definition inv_pV {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : z ≈ y) : (p ⬝ q⁻¹)⁻¹ ≈ q ⬝ p⁻¹ :=
definition inv_pV (p : x ≈ y) (q : z ≈ y) : (p ⬝ q⁻¹)⁻¹ ≈ q ⬝ p⁻¹ :=
rec_on p (take q, rec_on q idp) q
definition inv_VV {A : Type} {x y z : A} (p : y ≈ x) (q : z ≈ y) : (p⁻¹ ⬝ q⁻¹)⁻¹ ≈ q ⬝ p :=
definition inv_VV (p : y ≈ x) (q : z ≈ y) : (p⁻¹ ⬝ q⁻¹)⁻¹ ≈ q ⬝ p :=
rec_on p (rec_on q idp)
-- Inverse is an involution.
definition inv_V {A : Type} {x y : A} (p : x ≈ y) : p⁻¹⁻¹ ≈ p :=
definition inv_V (p : x ≈ y) : p⁻¹⁻¹ ≈ p :=
rec_on p idp
-- Theorems for moving things around in equations
-- ----------------------------------------------
definition moveR_Mp {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) (r : y ≈ x) :
definition moveR_Mp (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) (r : y ≈ x) :
p ≈ (r⁻¹ ⬝ q) → (r ⬝ p) ≈ q :=
rec_on r (take p h, concat_1p _ ⬝ h ⬝ concat_1p _) p
definition moveR_pM {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) (r : y ≈ x) :
definition moveR_pM (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) (r : y ≈ x) :
r ≈ q ⬝ p⁻¹ → r ⬝ p ≈ q :=
rec_on p (take q h, (concat_p1 _ ⬝ h ⬝ concat_p1 _)) q
definition moveR_Vp {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) (r : x ≈ y) :
definition moveR_Vp (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) (r : x ≈ y) :
p ≈ r ⬝ q → r⁻¹ ⬝ p ≈ q :=
rec_on r (take q h, concat_1p _ ⬝ h ⬝ concat_1p _) q
definition moveR_pV {A : Type} {x y z : A} (p : z ≈ x) (q : y ≈ z) (r : y ≈ x) :
definition moveR_pV (p : z ≈ x) (q : y ≈ z) (r : y ≈ x) :
r ≈ q ⬝ p → r ⬝ p⁻¹ ≈ q :=
rec_on p (take r h, concat_p1 _ ⬝ h ⬝ concat_p1 _) r
definition moveL_Mp {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) (r : y ≈ x) :
definition moveL_Mp (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) (r : y ≈ x) :
r⁻¹ ⬝ q ≈ p → q ≈ r ⬝ p :=
rec_on r (take p h, (concat_1p _)⁻¹ ⬝ h ⬝ (concat_1p _)⁻¹) p
definition moveL_pM {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) (r : y ≈ x) :
definition moveL_pM (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) (r : y ≈ x) :
q ⬝ p⁻¹ ≈ r → q ≈ r ⬝ p :=
rec_on p (take q h, (concat_p1 _)⁻¹ ⬝ h ⬝ (concat_p1 _)⁻¹) q
definition moveL_Vp {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) (r : x ≈ y) :
definition moveL_Vp (p : x ≈ z) (q : y ≈ z) (r : x ≈ y) :
r ⬝ q ≈ p → q ≈ r⁻¹ ⬝ p :=
rec_on r (take q h, (concat_1p _)⁻¹ ⬝ h ⬝ (concat_1p _)⁻¹) q
definition moveL_pV {A : Type} {x y z : A} (p : z ≈ x) (q : y ≈ z) (r : y ≈ x) :
definition moveL_pV (p : z ≈ x) (q : y ≈ z) (r : y ≈ x) :
q ⬝ p ≈ r → q ≈ r ⬝ p⁻¹ :=
rec_on p (take r h, (concat_p1 _)⁻¹ ⬝ h ⬝ (concat_p1 _)⁻¹) r
definition moveL_1M {A : Type} {x y : A} (p q : x ≈ y) :
definition moveL_1M (p q : x ≈ y) :
p ⬝ q⁻¹ ≈ idp → p ≈ q :=
rec_on q (take p h, (concat_p1 _)⁻¹ ⬝ h) p
definition moveL_M1 {A : Type} {x y : A} (p q : x ≈ y) :
definition moveL_M1 (p q : x ≈ y) :
q⁻¹ ⬝ p ≈ idp → p ≈ q :=
rec_on q (take p h, (concat_1p _)⁻¹ ⬝ h) p
definition moveL_1V {A : Type} {x y : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ x) :
definition moveL_1V (p : x ≈ y) (q : y ≈ x) :
p ⬝ q ≈ idp → p ≈ q⁻¹ :=
rec_on q (take p h, (concat_p1 _)⁻¹ ⬝ h) p
definition moveL_V1 {A : Type} {x y : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ x) :
definition moveL_V1 (p : x ≈ y) (q : y ≈ x) :
q ⬝ p ≈ idp → p ≈ q⁻¹ :=
rec_on q (take p h, (concat_1p _)⁻¹ ⬝ h) p
definition moveR_M1 {A : Type} {x y : A} (p q : x ≈ y) :
definition moveR_M1 (p q : x ≈ y) :
idp ≈ p⁻¹ ⬝ q → p ≈ q :=
rec_on p (take q h, h ⬝ (concat_1p _)) q
definition moveR_1M {A : Type} {x y : A} (p q : x ≈ y) :
definition moveR_1M (p q : x ≈ y) :
idp ≈ q ⬝ p⁻¹ → p ≈ q :=
rec_on p (take q h, h ⬝ (concat_p1 _)) q
definition moveR_1V {A : Type} {x y : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ x) :
definition moveR_1V (p : x ≈ y) (q : y ≈ x) :
idp ≈ q ⬝ p → p⁻¹ ≈ q :=
rec_on p (take q h, h ⬝ (concat_p1 _)) q
definition moveR_V1 {A : Type} {x y : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ x) :
definition moveR_V1 (p : x ≈ y) (q : y ≈ x) :
idp ≈ p ⬝ q → p⁻¹ ≈ q :=
rec_on p (take q h, h ⬝ (concat_1p _)) q
@ -182,7 +178,7 @@ rec_on p (take q h, h ⬝ (concat_1p _)) q
-- Transport
-- ---------
definition transport [reducible] {A : Type} (P : A → Type) {x y : A} (p : x ≈ y) (u : P x) : P y :=
definition transport [reducible] (P : A → Type) {x y : A} (p : x ≈ y) (u : P x) : P y :=
path.rec_on p u
-- This idiom makes the operation right associative.
@ -193,20 +189,20 @@ path.rec_on p idp
definition ap01 := ap
definition homotopy [reducible] {A : Type} {P : A → Type} (f g : Πx, P x) : Type :=
definition homotopy [reducible] (f g : Πx, P x) : Type :=
Πx : A, f x ≈ g x
notation f ∼ g := homotopy f g
definition apD10 {A} {B : A → Type} {f g : Πx, B x} (H : f ≈ g) : f ∼ g :=
definition apD10 {f g : Πx, P x} (H : f ≈ g) : f ∼ g :=
λx, path.rec_on H idp
definition ap10 {A B} {f g : A → B} (H : f ≈ g) : f ∼ g := apD10 H
definition ap10 {f g : A → B} (H : f ≈ g) : f ∼ g := apD10 H
definition ap11 {A B} {f g : A → B} (H : f ≈ g) {x y : A} (p : x ≈ y) : f x ≈ g y :=
definition ap11 {f g : A → B} (H : f ≈ g) {x y : A} (p : x ≈ y) : f x ≈ g y :=
rec_on H (rec_on p idp)
definition apD {A:Type} {B : A → Type} (f : Πa:A, B a) {x y : A} (p : x ≈ y) : p ▹ (f x) ≈ f y :=
definition apD (f : Πa:A, P a) {x y : A} (p : x ≈ y) : p ▹ (f x) ≈ f y :=
rec_on p idp
@ -221,19 +217,19 @@ calc_symm inverse
-- More theorems for moving things around in equations
-- ---------------------------------------------------
definition moveR_transport_p {A : Type} (P : A → Type) {x y : A} (p : x ≈ y) (u : P x) (v : P y) :
definition moveR_transport_p (P : A → Type) {x y : A} (p : x ≈ y) (u : P x) (v : P y) :
u ≈ p⁻¹ ▹ v → p ▹ u ≈ v :=
rec_on p (take v, id) v
definition moveR_transport_V {A : Type} (P : A → Type) {x y : A} (p : y ≈ x) (u : P x) (v : P y) :
definition moveR_transport_V (P : A → Type) {x y : A} (p : y ≈ x) (u : P x) (v : P y) :
u ≈ p ▹ v → p⁻¹ ▹ u ≈ v :=
rec_on p (take u, id) u
definition moveL_transport_V {A : Type} (P : A → Type) {x y : A} (p : x ≈ y) (u : P x) (v : P y) :
definition moveL_transport_V (P : A → Type) {x y : A} (p : x ≈ y) (u : P x) (v : P y) :
p ▹ u ≈ v → u ≈ p⁻¹ ▹ v :=
rec_on p (take v, id) v
definition moveL_transport_p {A : Type} (P : A → Type) {x y : A} (p : y ≈ x) (u : P x) (v : P y) :
definition moveL_transport_p (P : A → Type) {x y : A} (p : y ≈ x) (u : P x) (v : P y) :
p⁻¹ ▹ u ≈ v → u ≈ p ▹ v :=
rec_on p (take u, id) u
@ -244,25 +240,25 @@ rec_on p (take u, id) u
-- functorial.
-- Functions take identity paths to identity paths
definition ap_1 {A B : Type} (x : A) (f : A → B) : (ap f idp) ≈ idp :> (f x ≈ f x) := idp
definition ap_1 (x : A) (f : A → B) : (ap f idp) ≈ idp :> (f x ≈ f x) := idp
definition apD_1 {A B} (x : A) (f : Π x : A, B x) : apD f idp ≈ idp :> (f x ≈ f x) := idp
definition apD_1 (x : A) (f : Π x : A, P x) : apD f idp ≈ idp :> (f x ≈ f x) := idp
-- Functions commute with concatenation.
definition ap_pp {A B : Type} (f : A → B) {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) :
definition ap_pp (f : A → B) {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) :
ap f (p ⬝ q) ≈ (ap f p) ⬝ (ap f q) :=
rec_on q (rec_on p idp)
definition ap_p_pp {A B : Type} (f : A → B) {w x y z : A} (r : f w ≈ f x) (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) :
definition ap_p_pp (f : A → B) {w x y z : A} (r : f w ≈ f x) (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) :
r ⬝ (ap f (p ⬝ q)) ≈ (r ⬝ ap f p) ⬝ (ap f q) :=
rec_on q (take p, rec_on p (concat_p_pp r idp idp)) p
definition ap_pp_p {A B : Type} (f : A → B) {w x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) (r : f z ≈ f w) :
definition ap_pp_p (f : A → B) {w x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) (r : f z ≈ f w) :
(ap f (p ⬝ q)) ⬝ r ≈ (ap f p) ⬝ (ap f q ⬝ r) :=
rec_on q (rec_on p (take r, concat_pp_p _ _ _)) r
-- Functions commute with path inverses.
definition inverse_ap {A B : Type} (f : A → B) {x y : A} (p : x ≈ y) : (ap f p)⁻¹ ≈ ap f (p⁻¹) :=
definition inverse_ap (f : A → B) {x y : A} (p : x ≈ y) : (ap f p)⁻¹ ≈ ap f (p⁻¹) :=
rec_on p idp
definition ap_V {A B : Type} (f : A → B) {x y : A} (p : x ≈ y) : ap f (p⁻¹) ≈ (ap f p)⁻¹ :=
@ -270,51 +266,51 @@ rec_on p idp
-- [ap] itself is functorial in the first argument.
definition ap_idmap {A : Type} {x y : A} (p : x ≈ y) : ap id p ≈ p :=
definition ap_idmap (p : x ≈ y) : ap id p ≈ p :=
rec_on p idp
definition ap_compose {A B C : Type} (f : A → B) (g : B → C) {x y : A} (p : x ≈ y) :
definition ap_compose (f : A → B) (g : B → C) {x y : A} (p : x ≈ y) :
ap (g ∘ f) p ≈ ap g (ap f p) :=
rec_on p idp
-- Sometimes we don't have the actual function [compose].
definition ap_compose' {A B C : Type} (f : A → B) (g : B → C) {x y : A} (p : x ≈ y) :
definition ap_compose' (f : A → B) (g : B → C) {x y : A} (p : x ≈ y) :
ap (λa, g (f a)) p ≈ ap g (ap f p) :=
rec_on p idp
-- The action of constant maps.
definition ap_const {A B : Type} {x y : A} (p : x ≈ y) (z : B) :
definition ap_const (p : x ≈ y) (z : B) :
ap (λu, z) p ≈ idp :=
rec_on p idp
-- Naturality of [ap].
definition concat_Ap {A B : Type} {f g : A → B} (p : Π x, f x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y) :
definition concat_Ap {f g : A → B} (p : Π x, f x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y) :
(ap f q) ⬝ (p y) ≈ (p x) ⬝ (ap g q) :=
rec_on q (concat_1p _ ⬝ (concat_p1 _)⁻¹)
-- Naturality of [ap] at identity.
definition concat_A1p {A : Type} {f : A → A} (p : Πx, f x ≈ x) {x y : A} (q : x ≈ y) :
definition concat_A1p {f : A → A} (p : Πx, f x ≈ x) {x y : A} (q : x ≈ y) :
(ap f q) ⬝ (p y) ≈ (p x) ⬝ q :=
rec_on q (concat_1p _ ⬝ (concat_p1 _)⁻¹)
definition concat_pA1 {A : Type} {f : A → A} (p : Πx, x ≈ f x) {x y : A} (q : x ≈ y) :
definition concat_pA1 {f : A → A} (p : Πx, x ≈ f x) {x y : A} (q : x ≈ y) :
(p x) ⬝ (ap f q) ≈ q ⬝ (p y) :=
rec_on q (concat_p1 _ ⬝ (concat_1p _)⁻¹)
-- Naturality with other paths hanging around.
definition concat_pA_pp {A B : Type} {f g : A → B} (p : Πx, f x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y)
definition concat_pA_pp {f g : A → B} (p : Πx, f x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y)
{w z : B} (r : w ≈ f x) (s : g y ≈ z) :
(r ⬝ ap f q) ⬝ (p y ⬝ s) ≈ (r ⬝ p x) ⬝ (ap g q ⬝ s) :=
rec_on s (rec_on q idp)
definition concat_pA_p {A B : Type} {f g : A → B} (p : Πx, f x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y)
definition concat_pA_p {f g : A → B} (p : Πx, f x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y)
{w : B} (r : w ≈ f x) :
(r ⬝ ap f q) ⬝ p y ≈ (r ⬝ p x) ⬝ ap g q :=
rec_on q idp
-- TODO: try this using the simplifier, and compare proofs
definition concat_A_pp {A B : Type} {f g : A → B} (p : Πx, f x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y)
definition concat_A_pp {f g : A → B} (p : Πx, f x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y)
{z : B} (s : g y ≈ z) :
(ap f q) ⬝ (p y ⬝ s) ≈ (p x) ⬝ (ap g q ⬝ s) :=
rec_on s (rec_on q
@ -325,32 +321,32 @@ rec_on s (rec_on q
-- This also works:
-- rec_on s (rec_on q (concat_1p _ ▹ idp))
definition concat_pA1_pp {A : Type} {f : A → A} (p : Πx, f x ≈ x) {x y : A} (q : x ≈ y)
definition concat_pA1_pp {f : A → A} (p : Πx, f x ≈ x) {x y : A} (q : x ≈ y)
{w z : A} (r : w ≈ f x) (s : y ≈ z) :
(r ⬝ ap f q) ⬝ (p y ⬝ s) ≈ (r ⬝ p x) ⬝ (q ⬝ s) :=
rec_on s (rec_on q idp)
definition concat_pp_A1p {A : Type} {g : A → A} (p : Πx, x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y)
definition concat_pp_A1p {g : A → A} (p : Πx, x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y)
{w z : A} (r : w ≈ x) (s : g y ≈ z) :
(r ⬝ p x) ⬝ (ap g q ⬝ s) ≈ (r ⬝ q) ⬝ (p y ⬝ s) :=
rec_on s (rec_on q idp)
definition concat_pA1_p {A : Type} {f : A → A} (p : Πx, f x ≈ x) {x y : A} (q : x ≈ y)
definition concat_pA1_p {f : A → A} (p : Πx, f x ≈ x) {x y : A} (q : x ≈ y)
{w : A} (r : w ≈ f x) :
(r ⬝ ap f q) ⬝ p y ≈ (r ⬝ p x) ⬝ q :=
rec_on q idp
definition concat_A1_pp {A : Type} {f : A → A} (p : Πx, f x ≈ x) {x y : A} (q : x ≈ y)
definition concat_A1_pp {f : A → A} (p : Πx, f x ≈ x) {x y : A} (q : x ≈ y)
{z : A} (s : y ≈ z) :
(ap f q) ⬝ (p y ⬝ s) ≈ (p x) ⬝ (q ⬝ s) :=
rec_on s (rec_on q (concat_1p _ ▹ idp))
definition concat_pp_A1 {A : Type} {g : A → A} (p : Πx, x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y)
definition concat_pp_A1 {g : A → A} (p : Πx, x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y)
{w : A} (r : w ≈ x) :
(r ⬝ p x) ⬝ ap g q ≈ (r ⬝ q) ⬝ p y :=
rec_on q idp
definition concat_p_A1p {A : Type} {g : A → A} (p : Πx, x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y)
definition concat_p_A1p {g : A → A} (p : Πx, x ≈ g x) {x y : A} (q : x ≈ y)
{z : A} (s : g y ≈ z) :
p x ⬝ (ap g q ⬝ s) ≈ q ⬝ (p y ⬝ s) :=
begin
@ -364,25 +360,26 @@ end
-- Application of paths between functions preserves the groupoid structure
definition apD10_1 {A} {B : A → Type} (f : Πx, B x) (x : A) : apD10 (idpath f) x ≈ idp := idp
definition apD10_1 (f : Πx, P x) (x : A) : apD10 (idpath f) x ≈ idp := idp
definition apD10_pp {A} {B : A → Type} {f f' f'' : Πx, B x} (h : f ≈ f') (h' : f' ≈ f'') (x : A) :
definition apD10_pp {f f' f'' : Πx, P x} (h : f ≈ f') (h' : f' ≈ f'') (x : A) :
apD10 (h ⬝ h') x ≈ apD10 h x ⬝ apD10 h' x :=
rec_on h (take h', rec_on h' idp) h'
definition apD10_V {A : Type} {B : A → Type} {f g : Πx : A, B x} (h : f ≈ g) (x : A) :
definition apD10_V {f g : Πx : A, P x} (h : f ≈ g) (x : A) :
apD10 (h⁻¹) x ≈ (apD10 h x)⁻¹ :=
rec_on h idp
definition ap10_1 {A B} {f : A → B} (x : A) : ap10 (idpath f) x ≈ idp := idp
definition ap10_1 {f : A → B} (x : A) : ap10 (idpath f) x ≈ idp := idp
definition ap10_pp {A B} {f f' f'' : A → B} (h : f ≈ f') (h' : f' ≈ f'') (x : A) :
definition ap10_pp {f f' f'' : A → B} (h : f ≈ f') (h' : f' ≈ f'') (x : A) :
ap10 (h ⬝ h') x ≈ ap10 h x ⬝ ap10 h' x := apD10_pp h h' x
definition ap10_V {A B} {f g : A→B} (h : f ≈ g) (x:A) : ap10 (h⁻¹) x ≈ (ap10 h x)⁻¹ := apD10_V h x
definition ap10_V {f g : A → B} (h : f ≈ g) (x : A) : ap10 (h⁻¹) x ≈ (ap10 h x)⁻¹ :=
apD10_V h x
-- [ap10] also behaves nicely on paths produced by [ap]
definition ap_ap10 {A B C} (f g : A → B) (h : B → C) (p : f ≈ g) (a : A) :
definition ap_ap10 (f g : A → B) (h : B → C) (p : f ≈ g) (a : A) :
ap h (ap10 p a) ≈ ap10 (ap (λ f', h ∘ f') p) a:=
rec_on p idp
@ -390,22 +387,22 @@ rec_on p idp
-- Transport and the groupoid structure of paths
-- ---------------------------------------------
definition transport_1 {A : Type} (P : A → Type) {x : A} (u : P x) :
definition transport_1 (P : A → Type) {x : A} (u : P x) :
idp ▹ u ≈ u := idp
definition transport_pp {A : Type} (P : A → Type) {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) (u : P x) :
definition transport_pp (P : A → Type) {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) (u : P x) :
p ⬝ q ▹ u ≈ q ▹ p ▹ u :=
rec_on q (rec_on p idp)
definition transport_pV {A : Type} (P : A → Type) {x y : A} (p : x ≈ y) (z : P y) :
definition transport_pV (P : A → Type) {x y : A} (p : x ≈ y) (z : P y) :
p ▹ p⁻¹ ▹ z ≈ z :=
(transport_pp P (p⁻¹) p z)⁻¹ ⬝ ap (λr, transport P r z) (concat_Vp p)
definition transport_Vp {A : Type} (P : A → Type) {x y : A} (p : x ≈ y) (z : P x) :
definition transport_Vp (P : A → Type) {x y : A} (p : x ≈ y) (z : P x) :
p⁻¹ ▹ p ▹ z ≈ z :=
(transport_pp P p (p⁻¹) z)⁻¹ ⬝ ap (λr, transport P r z) (concat_pV p)
definition transport_p_pp {A : Type} (P : A → Type)
definition transport_p_pp (P : A → Type)
{x y z w : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) (r : z ≈ w) (u : P x) :
ap (λe, e ▹ u) (concat_p_pp p q r) ⬝ (transport_pp P (p ⬝ q) r u) ⬝
ap (transport P r) (transport_pp P p q u)
@ -414,53 +411,53 @@ definition transport_p_pp {A : Type} (P : A → Type)
rec_on r (rec_on q (rec_on p idp))
-- Here is another coherence lemma for transport.
definition transport_pVp {A} (P : A → Type) {x y : A} (p : x ≈ y) (z : P x) :
definition transport_pVp (P : A → Type) {x y : A} (p : x ≈ y) (z : P x) :
transport_pV P p (transport P p z) ≈ ap (transport P p) (transport_Vp P p z) :=
rec_on p idp
-- Dependent transport in a doubly dependent type.
-- should B, C and y all be explicit here?
definition transportD {A : Type} (B : A → Type) (C : Π a : A, B a → Type)
{x1 x2 : A} (p : x1 ≈ x2) (y : B x1) (z : C x1 y) : C x2 (p ▹ y) :=
definition transportD (P : A → Type) (Q : Π a : A, P a → Type)
{x1 x2 : A} (p : x1 ≈ x2) (y : P x1) (z : Q x1 y) : Q x2 (p ▹ y) :=
rec_on p z
-- In Coq the variables B, C and y are explicit, but in Lean we can probably have them implicit using the following notation
notation p `▹D`:65 x:64 := transportD _ _ p _ x
-- Transporting along higher-dimensional paths
definition transport2 {A : Type} (P : A → Type) {x y : A} {p q : x ≈ y} (r : p ≈ q) (z : P x) :
definition transport2 (P : A → Type) {x y : A} {p q : x ≈ y} (r : p ≈ q) (z : P x) :
p ▹ z ≈ q ▹ z :=
ap (λp', p' ▹ z) r
notation p `▹2`:65 x:64 := transport2 _ p _ x
-- An alternative definition.
definition transport2_is_ap10 {A : Type} (Q : A → Type) {x y : A} {p q : x ≈ y} (r : p ≈ q)
definition transport2_is_ap10 (Q : A → Type) {x y : A} {p q : x ≈ y} (r : p ≈ q)
(z : Q x) :
transport2 Q r z ≈ ap10 (ap (transport Q) r) z :=
rec_on r idp
definition transport2_p2p {A : Type} (P : A → Type) {x y : A} {p1 p2 p3 : x ≈ y}
definition transport2_p2p (P : A → Type) {x y : A} {p1 p2 p3 : x ≈ y}
(r1 : p1 ≈ p2) (r2 : p2 ≈ p3) (z : P x) :
transport2 P (r1 ⬝ r2) z ≈ transport2 P r1 z ⬝ transport2 P r2 z :=
rec_on r1 (rec_on r2 idp)
definition transport2_V {A : Type} (Q : A → Type) {x y : A} {p q : x ≈ y} (r : p ≈ q) (z : Q x) :
definition transport2_V (Q : A → Type) {x y : A} {p q : x ≈ y} (r : p ≈ q) (z : Q x) :
transport2 Q (r⁻¹) z ≈ ((transport2 Q r z)⁻¹) :=
rec_on r idp
definition transportD2 {A : Type} (B C : A → Type) (D : Π(a:A), B a → C a → Type)
definition transportD2 (B C : A → Type) (D : Π(a:A), B a → C a → Type)
{x1 x2 : A} (p : x1 ≈ x2) (y : B x1) (z : C x1) (w : D x1 y z) : D x2 (p ▹ y) (p ▹ z) :=
rec_on p w
notation p `▹D2`:65 x:64 := transportD2 _ _ _ p _ _ x
definition concat_AT {A : Type} (P : A → Type) {x y : A} {p q : x ≈ y} {z w : P x} (r : p ≈ q)
definition concat_AT (P : A → Type) {x y : A} {p q : x ≈ y} {z w : P x} (r : p ≈ q)
(s : z ≈ w) :
ap (transport P p) s ⬝ transport2 P r w ≈ transport2 P r z ⬝ ap (transport P q) s :=
rec_on r (concat_p1 _ ⬝ (concat_1p _)⁻¹)
-- TODO (from Coq library): What should this be called?
definition ap_transport {A} {P Q : A → Type} {x y : A} (p : x ≈ y) (f : Πx, P x → Q x) (z : P x) :
definition ap_transport {P Q : A → Type} {x y : A} (p : x ≈ y) (f : Πx, P x → Q x) (z : P x) :
f y (p ▹ z) ≈ (p ▹ (f x z)) :=
rec_on p idp
@ -478,34 +475,33 @@ subdirectory. Here we consider only the most basic cases.
-/
-- Transporting in a constant fibration.
definition transport_const {A B : Type} {x1 x2 : A} (p : x1 ≈ x2) (y : B) :
transport (λx, B) p y ≈ y :=
definition transport_const (p : x ≈ y) (z : B) : transport (λx, B) p z ≈ z :=
rec_on p idp
definition transport2_const {A B : Type} {x1 x2 : A} {p q : x1 ≈ x2} (r : p ≈ q) (y : B) :
transport_const p y ≈ transport2 (λu, B) r y ⬝ transport_const q y :=
definition transport2_const {p q : x ≈ y} (r : p ≈ q) (z : B) :
transport_const p z ≈ transport2 (λu, B) r z ⬝ transport_const q z :=
rec_on r (concat_1p _)⁻¹
-- Transporting in a pulled back fibration.
-- TODO: P can probably be implicit
definition transport_compose {A B} {x y : A} (P : B → Type) (f : A → B) (p : x ≈ y) (z : P (f x)) :
definition transport_compose (P : B → Type) (f : A → B) (p : x ≈ y) (z : P (f x)) :
transport (λx, P (f x)) p z ≈ transport P (ap f p) z :=
rec_on p idp
definition transport_precompose {A B C} (f : A → B) (g g' : B → C) (p : g ≈ g') :
definition transport_precompose (f : A → B) (g g' : B → C) (p : g ≈ g') :
transport (λh : B → C, g ∘ f ≈ h ∘ f) p idp ≈ ap (λh, h ∘ f) p :=
rec_on p idp
definition apD10_ap_precompose {A B C} (f : A → B) (g g' : B → C) (p : g ≈ g') (a : A) :
definition apD10_ap_precompose (f : A → B) (g g' : B → C) (p : g ≈ g') (a : A) :
apD10 (ap (λh : B → C, h ∘ f) p) a ≈ apD10 p (f a) :=
rec_on p idp
definition apD10_ap_postcompose {A B C} (f : B → C) (g g' : A → B) (p : g ≈ g') (a : A) :
definition apD10_ap_postcompose (f : B → C) (g g' : A → B) (p : g ≈ g') (a : A) :
apD10 (ap (λh : A → B, f ∘ h) p) a ≈ ap f (apD10 p a) :=
rec_on p idp
-- A special case of [transport_compose] which seems to come up a lot.
definition transport_idmap_ap A (P : A → Type) x y (p : x ≈ y) (u : P x) :
definition transport_idmap_ap (P : A → Type) x y (p : x ≈ y) (u : P x) :
transport P p u ≈ transport (λz, z) (ap P p) u :=
rec_on p idp
@ -514,7 +510,7 @@ rec_on p idp
-- ------------------------------
-- In a constant fibration, [apD] reduces to [ap], modulo [transport_const].
definition apD_const {A B} {x y : A} (f : A → B) (p: x ≈ y) :
definition apD_const (f : A → B) (p: x ≈ y) :
apD f p ≈ transport_const p (f x) ⬝ ap f p :=
rec_on p idp
@ -523,75 +519,75 @@ rec_on p idp
-- ------------------------------------
-- Horizontal composition of 2-dimensional paths.
definition concat2 {A} {x y z : A} {p p' : x ≈ y} {q q' : y ≈ z} (h : p ≈ p') (h' : q ≈ q') :
definition concat2 {p p' : x ≈ y} {q q' : y ≈ z} (h : p ≈ p') (h' : q ≈ q') :
p ⬝ q ≈ p' ⬝ q' :=
rec_on h (rec_on h' idp)
infixl `◾`:75 := concat2
-- 2-dimensional path inversion
definition inverse2 {A : Type} {x y : A} {p q : x ≈ y} (h : p ≈ q) : p⁻¹ ≈ q⁻¹ :=
definition inverse2 {p q : x ≈ y} (h : p ≈ q) : p⁻¹ ≈ q⁻¹ :=
rec_on h idp
-- Whiskering
-- ----------
definition whiskerL {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ y) {q r : y ≈ z} (h : q ≈ r) : p ⬝ q ≈ p ⬝ r :=
definition whiskerL (p : x ≈ y) {q r : y ≈ z} (h : q ≈ r) : p ⬝ q ≈ p ⬝ r :=
idp ◾ h
definition whiskerR {A : Type} {x y z : A} {p q : x ≈ y} (h : p ≈ q) (r : y ≈ z) : p ⬝ r ≈ q ⬝ r :=
definition whiskerR {p q : x ≈ y} (h : p ≈ q) (r : y ≈ z) : p ⬝ r ≈ q ⬝ r :=
h ◾ idp
-- Unwhiskering, a.k.a. cancelling
definition cancelL {A} {x y z : A} (p : x ≈ y) (q r : y ≈ z) : (p ⬝ q ≈ p ⬝ r) → (q ≈ r) :=
definition cancelL {x y z : A} (p : x ≈ y) (q r : y ≈ z) : (p ⬝ q ≈ p ⬝ r) → (q ≈ r) :=
rec_on p (take r, rec_on r (take q a, (concat_1p q)⁻¹ ⬝ a)) r q
definition cancelR {A} {x y z : A} (p q : x ≈ y) (r : y ≈ z) : (p ⬝ r ≈ q ⬝ r) → (p ≈ q) :=
definition cancelR {x y z : A} (p q : x ≈ y) (r : y ≈ z) : (p ⬝ r ≈ q ⬝ r) → (p ≈ q) :=
rec_on r (rec_on p (take q a, a ⬝ concat_p1 q)) q
-- Whiskering and identity paths.
definition whiskerR_p1 {A : Type} {x y : A} {p q : x ≈ y} (h : p ≈ q) :
definition whiskerR_p1 {p q : x ≈ y} (h : p ≈ q) :
(concat_p1 p)⁻¹ ⬝ whiskerR h idp ⬝ concat_p1 q ≈ h :=
rec_on h (rec_on p idp)
definition whiskerR_1p {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) :
definition whiskerR_1p (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) :
whiskerR idp q ≈ idp :> (p ⬝ q ≈ p ⬝ q) :=
rec_on q idp
definition whiskerL_p1 {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) :
definition whiskerL_p1 (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) :
whiskerL p idp ≈ idp :> (p ⬝ q ≈ p ⬝ q) :=
rec_on q idp
definition whiskerL_1p {A : Type} {x y : A} {p q : x ≈ y} (h : p ≈ q) :
definition whiskerL_1p {p q : x ≈ y} (h : p ≈ q) :
(concat_1p p) ⁻¹ ⬝ whiskerL idp h ⬝ concat_1p q ≈ h :=
rec_on h (rec_on p idp)
definition concat2_p1 {A : Type} {x y : A} {p q : x ≈ y} (h : p ≈ q) :
definition concat2_p1 {p q : x ≈ y} (h : p ≈ q) :
h ◾ idp ≈ whiskerR h idp :> (p ⬝ idp ≈ q ⬝ idp) :=
rec_on h idp
definition concat2_1p {A : Type} {x y : A} {p q : x ≈ y} (h : p ≈ q) :
definition concat2_1p {p q : x ≈ y} (h : p ≈ q) :
idp ◾ h ≈ whiskerL idp h :> (idp ⬝ p ≈ idp ⬝ q) :=
rec_on h idp
-- TODO: note, 4 inductions
-- The interchange law for concatenation.
definition concat_concat2 {A : Type} {x y z : A} {p p' p'' : x ≈ y} {q q' q'' : y ≈ z}
definition concat_concat2 {p p' p'' : x ≈ y} {q q' q'' : y ≈ z}
(a : p ≈ p') (b : p' ≈ p'') (c : q ≈ q') (d : q' ≈ q'') :
(a ◾ c) ⬝ (b ◾ d) ≈ (a ⬝ b) ◾ (c ⬝ d) :=
rec_on d (rec_on c (rec_on b (rec_on a idp)))
definition concat_whisker {A} {x y z : A} (p p' : x ≈ y) (q q' : y ≈ z) (a : p ≈ p') (b : q ≈ q') :
definition concat_whisker {x y z : A} (p p' : x ≈ y) (q q' : y ≈ z) (a : p ≈ p') (b : q ≈ q') :
(whiskerR a q) ⬝ (whiskerL p' b) ≈ (whiskerL p b) ⬝ (whiskerR a q') :=
rec_on b (rec_on a (concat_1p _)⁻¹)
-- Structure corresponding to the coherence equations of a bicategory.
-- The "pentagonator": the 3-cell witnessing the associativity pentagon.
definition pentagon {A : Type} {v w x y z : A} (p : v ≈ w) (q : w ≈ x) (r : x ≈ y) (s : y ≈ z) :
definition pentagon {v w x y z : A} (p : v ≈ w) (q : w ≈ x) (r : x ≈ y) (s : y ≈ z) :
whiskerL p (concat_p_pp q r s)
⬝ concat_p_pp p (q ⬝ r) s
⬝ whiskerR (concat_p_pp p q r) s
@ -599,11 +595,11 @@ definition pentagon {A : Type} {v w x y z : A} (p : v ≈ w) (q : w ≈ x) (r :
rec_on s (rec_on r (rec_on q (rec_on p idp)))
-- The 3-cell witnessing the left unit triangle.
definition triangulator {A : Type} {x y z : A} (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) :
definition triangulator (p : x ≈ y) (q : y ≈ z) :
concat_p_pp p idp q ⬝ whiskerR (concat_p1 p) q ≈ whiskerL p (concat_1p q) :=
rec_on q (rec_on p idp)
definition eckmann_hilton {A : Type} {x:A} (p q : idp ≈ idp :> (x ≈ x)) : p ⬝ q ≈ q ⬝ p :=
definition eckmann_hilton {x:A} (p q : idp ≈ idp :> (x ≈ x)) : p ⬝ q ≈ q ⬝ p :=
(!whiskerR_p1 ◾ !whiskerL_1p)⁻¹
⬝ (!concat_p1 ◾ !concat_p1)
⬝ (!concat_1p ◾ !concat_1p)
@ -613,33 +609,32 @@ definition eckmann_hilton {A : Type} {x:A} (p q : idp ≈ idp :> (x ≈ x)) : p
⬝ (!whiskerL_1p ◾ !whiskerR_p1)
-- The action of functions on 2-dimensional paths
definition ap02 {A B : Type} (f:A → B) {x y : A} {p q : x ≈ y} (r : p ≈ q) : ap f p ≈ ap f q :=
definition ap02 (f:A → B) {x y : A} {p q : x ≈ y} (r : p ≈ q) : ap f p ≈ ap f q :=
rec_on r idp
definition ap02_pp {A B} (f : A → B) {x y : A} {p p' p'' : x ≈ y} (r : p ≈ p') (r' : p' ≈ p'') :
definition ap02_pp (f : A → B) {x y : A} {p p' p'' : x ≈ y} (r : p ≈ p') (r' : p' ≈ p'') :
ap02 f (r ⬝ r') ≈ ap02 f r ⬝ ap02 f r' :=
rec_on r (rec_on r' idp)
definition ap02_p2p {A B} (f : A → B) {x y z : A} {p p' : x ≈ y} {q q' :y ≈ z} (r : p ≈ p')
definition ap02_p2p (f : A → B) {x y z : A} {p p' : x ≈ y} {q q' :y ≈ z} (r : p ≈ p')
(s : q ≈ q') :
ap02 f (r ◾ s) ≈ ap_pp f p q
⬝ (ap02 f r ◾ ap02 f s)
⬝ (ap_pp f p' q')⁻¹ :=
rec_on r (rec_on s (rec_on q (rec_on p idp)))
-- rec_on r (rec_on s (rec_on p (rec_on q idp)))
definition apD02 {A : Type} {B : A → Type} {x y : A} {p q : x ≈ y} (f : Π x, B x) (r : p ≈ q) :
apD f p ≈ transport2 B r (f x) ⬝ apD f q :=
definition apD02 {p q : x ≈ y} (f : Π x, P x) (r : p ≈ q) :
apD f p ≈ transport2 P r (f x) ⬝ apD f q :=
rec_on r (concat_1p _)⁻¹
-- And now for a lemma whose statement is much longer than its proof.
definition apD02_pp {A} (B : A → Type) (f : Π x:A, B x) {x y : A}
definition apD02_pp (P : A → Type) (f : Π x:A, P x) {x y : A}
{p1 p2 p3 : x ≈ y} (r1 : p1 ≈ p2) (r2 : p2 ≈ p3) :
apD02 f (r1 ⬝ r2) ≈ apD02 f r1
⬝ whiskerL (transport2 B r1 (f x)) (apD02 f r2)
⬝ whiskerL (transport2 P r1 (f x)) (apD02 f r2)
⬝ concat_p_pp _ _ _
⬝ (whiskerR ((transport2_p2p B r1 r2 (f x))⁻¹) (apD f p3)) :=
⬝ (whiskerR ((transport2_p2p P r1 r2 (f x))⁻¹) (apD f p3)) :=
rec_on r2 (rec_on r1 (rec_on p1 idp))
/- From the Coq version: