prelude -- Porting Vladimir's file to Lean notation `assume` binders `,` r:(scoped f, f) := r notation `take` binders `,` r:(scoped f, f) := r inductive empty : Type inductive unit : Type := tt : unit definition tt := @unit.tt inductive nat : Type := O : nat, S : nat → nat inductive paths {A : Type} (a : A) : A → Type := idpath : paths a a definition idpath := @paths.idpath inductive sum (A : Type) (B : Type) : Type := inl : A -> sum A B, inr : B -> sum A B definition coprod := sum definition ii1fun {A : Type} (B : Type) (a : A) := sum.inl B a definition ii2fun (A : Type) {B : Type} (b : B) := sum.inr A b definition ii1 {A : Type} {B : Type} (a : A) := sum.inl B a definition ii2 {A : Type} {B : Type} (b : B) := sum.inl A b inductive total2 {T: Type} (P: T → Type) : Type := tpair : Π (t : T) (tp : P t), total2 P definition tpair := @total2.tpair definition pr1 {T : Type} {P : T → Type} (tp : total2 P) : T := total2.rec (λ a b, a) tp definition pr2 {T : Type} {P : T → Type} (tp : total2 P) : P (pr1 tp) := total2.rec (λ a b, b) tp inductive Phant (T : Type) : Type := phant : Phant T definition fromempty {X : Type} : empty → X := λe, empty.rec (λe, X) e definition tounit {X : Type} : X → unit := λx, tt definition termfun {X : Type} (x : X) : unit → X := λt, x definition idfun (T : Type) := λt : T, t definition funcomp {X : Type} {Y : Type} {Z : Type} (f : X → Y) (g : Y → Z) := λx, g (f x) infixl `∘`:60 := funcomp definition iteration {T : Type} (f : T → T) (n : nat) : T → T := nat.rec (idfun T) (λ m fm, funcomp fm f) n definition adjev {X : Type} {Y : Type} (x : X) (f : X → Y) := f x definition adjev2 {X : Type} {Y : Type} (phi : ((X → Y) → Y ) → Y ) : X → Y := λx, phi (λf, f x) definition dirprod (X : Type) (Y : Type) := total2 (λ x : X, Y) definition dirprodpair {X : Type} {Y : Type} := @tpair _ (λ x : X, Y) definition dirprodadj {X : Type} {Y : Type} {Z : Type} (f : dirprod X Y → Z ) : X → Y → Z := λx y, f (dirprodpair x y) definition dirprodf {X : Type} {Y : Type} {X' : Type} {Y' : Type} (f : X → Y) (f' : X' → Y') (xx' : dirprod X X') : dirprod Y Y' := dirprodpair (f (pr1 xx')) (f' (pr2 xx')) definition ddualand {X : Type} {Y : Type} {P : Type} (xp : (X → P) → P) (yp : (Y → P) → P) : (dirprod X Y → P) → P := λ X0, let int1 := λ (ypp : (Y → P) → P) (x : X), yp (λ y : Y, X0 (dirprodpair x y)) in xp (int1 yp) definition neg (X : Type) : Type := X → empty definition negf {X : Type} {Y : Type} (f : X → Y) : neg Y → neg X := λ (phi : Y → empty) (x : X), phi (f x) definition dneg (X : Type) : Type := (X → empty) → empty definition dnegf {X : Type} {Y : Type} (f : X → Y) : dneg X → dneg Y := negf (negf f) definition todneg (X : Type) : X → dneg X := adjev definition dnegnegtoneg {X : Type} : dneg (neg X) → neg X := adjev2 lemma dneganddnegl1 {X : Type} {Y : Type} (dnx : dneg X) (dny : dneg Y) : neg (X → neg Y) := take X2 : X → neg Y, have X3 : dneg X → neg Y, from take xx : dneg X, dnegnegtoneg (dnegf X2 xx), dny (X3 dnx) definition logeq (X : Type) (Y : Type) := dirprod (X → Y) (Y → X) infix `<->`:25 := logeq infix `↔`:25 := logeq definition logeqnegs {X : Type} {Y : Type} (l : X ↔ Y) : (neg X) ↔ (neg Y) := dirprodpair (negf (pr2 l)) (negf (pr1 l)) infix `=`:50 := paths definition pathscomp0 {X : Type} {a b c : X} (e1 : a = b) (e2 : b = c) : a = c := paths.rec e1 e2 definition pathscomp0rid {X : Type} {a b : X} (e1 : a = b) : pathscomp0 e1 (idpath b) = e1 := idpath _ definition pathsinv0 {X : Type} {a b : X} (e : a = b) : b = a := paths.rec (idpath _) e definition transport {A : Type} {a b : A} {P : A → Type} (H1 : a = b) (H2 : P a) : P b := paths.rec H2 H1 infixr `▸`:75 := transport infixr `⬝`:75 := pathscomp0 postfix `⁻¹`:100 := pathsinv0 definition idinv {X : Type} (x : X) : (idpath x)⁻¹ = idpath x := idpath (idpath x) definition idtrans {A : Type} (x : A) : (idpath x) ⬝ (idpath x) = (idpath x) := idpath (idpath x) definition pathsinv0l {X : Type} {a b : X} (e : a = b) : e⁻¹ ⬝ e = idpath b := paths.rec (idinv a⁻¹ ▸ idtrans a) e definition pathsinv0r {A : Type} {x y : A} (p : x = y) : p⁻¹ ⬝ p = idpath y := paths.rec (idinv x⁻¹ ▸ idtrans x) p definition pathsinv0inv0 {A : Type} {x y : A} (p : x = y) : (p⁻¹)⁻¹ = p := paths.rec (idpath (idpath x)) p definition pathsdirprod {X : Type} {Y : Type} {x1 x2 : X} {y1 y2 : Y} (ex : x1 = x2) (ey : y1 = y2 ) : dirprodpair x1 y1 = dirprodpair x2 y2 := ex ▸ ey ▸ idpath (dirprodpair x1 y1) definition maponpaths {T1 : Type} {T2 : Type} (f : T1 → T2) {t1 t2 : T1} (e : t1 = t2) : f t1 = f t2 := e ▸ idpath (f t1) definition ap {T1 : Type} {T2 : Type} := @maponpaths T1 T2 definition maponpathscomp0 {X : Type} {Y : Type} {x y z : X} (f : X → Y) (p : x = y) (q : y = z) : ap f (p ⬝ q) = (ap f p) ⬝ (ap f q) := paths.rec (idpath _) q definition maponpathsinv0 {X : Type} {Y : Type} (f : X → Y) {x1 x2 : X} (e : x1 = x2 ) : ap f (e⁻¹) = (ap f e)⁻¹ := paths.rec (idpath _) e lemma maponpathsidfun {X : Type} {x x' : X} (e : x = x') : ap (idfun X) e = e := paths.rec (idpath _) e lemma maponpathscomp {X : Type} {Y : Type} {Z : Type} {x x' : X} (f : X → Y) (g : Y → Z) (e : x = x') : ap g (ap f e) = ap (f ∘ g) e := paths.rec (idpath _) e