import Nat
import if_then_else

variable Int : Type
alias ℤ : Int
builtin nat_to_int : Nat → Int
coercion nat_to_int

namespace Int
builtin numeral

builtin add : Int → Int → Int
infixl 65 + : add

builtin mul : Int → Int → Int
infixl 70 * : mul

builtin div : Int → Int → Int
infixl 70 div : div

builtin le : Int → Int → Bool
infix  50 <= : le
infix  50 ≤  : le

definition ge (a b : Int) : Bool := b ≤ a
infix 50 >= : ge
infix 50 ≥  : ge

definition lt (a b : Int) : Bool := ¬ (a ≥ b)
infix 50 <  : lt

definition gt (a b : Int) : Bool := ¬ (a ≤ b)
infix 50 >  : gt

definition sub (a b : Int) : Int := a + -1 * b
infixl 65 - : sub

definition neg (a : Int) : Int := -1 * a
notation 75 - _ : neg

definition mod (a b : Int) : Int := a - b * (a div b)
infixl 70 mod : mod

definition divides (a b : Int) : Bool := (b mod a) = 0
infix 50 | : divides

definition abs (a : Int) : Int := if (0 ≤ a) then a else (- a)
notation 55 | _ | : abs

set_opaque sub true
set_opaque neg true
set_opaque mod true
set_opaque divides true
set_opaque abs true
set_opaque ge true
set_opaque lt true
set_opaque gt true
end

namespace Nat
definition sub (a b : Nat) : Int := nat_to_int a - nat_to_int b
infixl 65 - : sub

definition neg (a : Nat) : Int := - (nat_to_int a)
notation 75 - _ : neg

set_opaque sub true
set_opaque neg true
end