lean2/tests/lean/run/nat_bug2.lean
2014-08-20 18:04:31 -07:00

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677 B
Text

import standard
using num eq_ops
inductive nat : Type :=
| zero : nat
| succ : nat → nat
abbreviation plus (x y : nat) : nat
:= nat_rec x (λn r, succ r) y
definition to_nat [coercion] [inline] (n : num) : nat
:= num_rec zero (λn, pos_num_rec (succ zero) (λn r, plus r (plus r (succ zero))) (λn r, plus r r) n) n
definition add (x y : nat) : nat
:= plus x y
variable le : nat → nat → Prop
infixl `+`:65 := add
infix `≤`:50 := le
axiom add_one (n:nat) : n + (succ zero) = succ n
axiom add_le_right {n m : nat} (H : n ≤ m) (k : nat) : n + k ≤ m + k
theorem succ_le {n m : nat} (H : n ≤ m) : succ n ≤ succ m
:= add_one m ▸ add_one n ▸ add_le_right H 1