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SharedMemory: formulated a strategy for proving partial-order reduction, based on completing each trace to a stuck state
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3b7d898b0f
commit
606efc383d
1 changed files with 466 additions and 88 deletions
554
SharedMemory.v
554
SharedMemory.v
|
@ -536,18 +536,48 @@ Admitted.
|
||||||
propositional; subst; equality.
|
propositional; subst; equality.
|
||||||
Qed.*)
|
Qed.*)
|
||||||
|
|
||||||
Inductive firstThread : cmd -> cmd -> cmd -> Prop :=
|
Record summary := {
|
||||||
| FtPar : forall c1 c2 c11 c12,
|
Reads : set nat;
|
||||||
firstThread c1 c11 c12
|
Writes : set nat;
|
||||||
-> firstThread (Par c1 c2) c11 (Par c12 c2)
|
Locks : set nat
|
||||||
| FtDone : forall c,
|
}.
|
||||||
match c with
|
|
||||||
| Par _ _ => False
|
Inductive summarize : cmd -> summary -> Prop :=
|
||||||
| _ => True
|
| SumReturn : forall r s,
|
||||||
end
|
summarize (Return r) s
|
||||||
-> firstThread c c (Return 0).
|
| SumFail : forall s,
|
||||||
|
summarize Fail s
|
||||||
|
| SumBind : forall c1 c2 s,
|
||||||
|
summarize c1 s
|
||||||
|
-> (forall r, summarize (c2 r) s)
|
||||||
|
-> summarize (Bind c1 c2) s
|
||||||
|
| SumRead : forall a s,
|
||||||
|
a \in s.(Reads)
|
||||||
|
-> summarize (Read a) s
|
||||||
|
| SumWrite : forall a v s,
|
||||||
|
a \in s.(Writes)
|
||||||
|
-> summarize (Write a v) s
|
||||||
|
| SumLock : forall a s,
|
||||||
|
a \in s.(Locks)
|
||||||
|
-> summarize (Lock a) s
|
||||||
|
| SumUnlock : forall a s,
|
||||||
|
a \in s.(Locks)
|
||||||
|
-> summarize (Unlock a) s.
|
||||||
|
|
||||||
|
Inductive summarizeThreads : cmd -> list (cmd * summary) -> Prop :=
|
||||||
|
| StPar : forall c1 c2 ss1 ss2,
|
||||||
|
summarizeThreads c1 ss1
|
||||||
|
-> summarizeThreads c2 ss2
|
||||||
|
-> summarizeThreads (Par c1 c2) (ss1 ++ ss2)
|
||||||
|
| StAtomic : forall c s,
|
||||||
|
summarize c s
|
||||||
|
-> summarizeThreads c [(c, s)].
|
||||||
|
|
||||||
Inductive nextAction : cmd -> cmd -> Prop :=
|
Inductive nextAction : cmd -> cmd -> Prop :=
|
||||||
|
| NaReturn : forall r,
|
||||||
|
nextAction (Return r) (Return r)
|
||||||
|
| NaFail :
|
||||||
|
nextAction Fail Fail
|
||||||
| NaRead : forall a,
|
| NaRead : forall a,
|
||||||
nextAction (Read a) (Read a)
|
nextAction (Read a) (Read a)
|
||||||
| NaWrite : forall a v,
|
| NaWrite : forall a v,
|
||||||
|
@ -560,133 +590,481 @@ Inductive nextAction : cmd -> cmd -> Prop :=
|
||||||
nextAction c1 c
|
nextAction c1 c
|
||||||
-> nextAction (Bind c1 c2) c.
|
-> nextAction (Bind c1 c2) c.
|
||||||
|
|
||||||
Inductive commutes : cmd -> cmd -> Prop :=
|
Definition commutes (c : cmd) (s : summary) : Prop :=
|
||||||
| ComReadRead : forall a1 a2,
|
match c with
|
||||||
commutes (Read a1) (Read a2)
|
| Return _ => True
|
||||||
| ComReadWrite : forall a1 a2 v,
|
| Fail => True
|
||||||
a1 <> a2
|
| Read a => ~a \in s.(Writes)
|
||||||
-> commutes (Read a1) (Write a2 v)
|
| Write a _ => ~a \in s.(Reads) \cup s.(Writes)
|
||||||
| ComReadLock : forall a1 a2,
|
| Lock a => ~a \in s.(Locks)
|
||||||
commutes (Read a1) (Lock a2)
|
| Unlock a => ~a \in s.(Locks)
|
||||||
| ComReadUnlock : forall a1 a2,
|
| _ => False
|
||||||
commutes (Read a1) (Unlock a2)
|
end.
|
||||||
|
|
||||||
| ComWriteRead : forall a1 v a2,
|
Inductive stepC : heap * locks * list (cmd * summary) -> heap * locks * list (cmd * summary) -> Prop :=
|
||||||
a1 <> a2
|
| StepDone : forall h l r s cs1 cs2,
|
||||||
-> commutes (Write a1 v) (Read a2)
|
stepC (h, l, cs1 ++ (Return r, s) :: cs2) (h, l, cs1 ++ cs2)
|
||||||
| ComWriteWrite : forall a1 a2 v1 v2,
|
| StepFirst : forall h l c h' l' c' s cs,
|
||||||
a1 <> a2
|
step (h, l, c) (h', l', c')
|
||||||
-> commutes (Write a1 v1) (Write a2 v2)
|
-> stepC (h, l, (c, s) :: cs) (h', l', (c', s) :: cs)
|
||||||
| ComWriteLock : forall a1 v a2,
|
| StepAny : forall h l c h' l' s cs1 c1 s1 cs2 c1',
|
||||||
commutes (Write a1 v) (Lock a2)
|
(forall c0 h'' l'' c'', nextAction c c0
|
||||||
| ComWriteUnlock : forall a1 v a2,
|
-> List.Forall (fun c_s => commutes c0 (snd c_s)) (cs1 ++ (c1, s1) :: cs2)
|
||||||
commutes (Write a1 v) (Unlock a2)
|
-> step (h, l, c) (h'', l'', c'')
|
||||||
|
-> False)
|
||||||
|
-> step (h, l, c1) (h', l', c1')
|
||||||
|
-> stepC (h, l, (c, s) :: cs1 ++ (c1, s1) :: cs2) (h', l', (c, s) :: cs1 ++ (c1', s1) :: cs2).
|
||||||
|
|
||||||
| ComLockRead : forall a1 a2,
|
Definition trsys_ofC (h : heap) (l : locks) (cs : list (cmd * summary)) := {|
|
||||||
commutes (Lock a1) (Read a2)
|
Initial := {(h, l, cs)};
|
||||||
| ComLockWrite : forall a1 a2 v,
|
Step := stepC
|
||||||
commutes (Lock a1) (Write a2 v)
|
|}.
|
||||||
| ComLockLock : forall a1 a2,
|
|
||||||
a1 <> a2
|
|
||||||
-> commutes (Lock a1) (Lock a2)
|
|
||||||
| ComLockUnlock : forall a1 a2,
|
|
||||||
a1 <> a2
|
|
||||||
-> commutes (Lock a1) (Unlock a2)
|
|
||||||
|
|
||||||
| ComUnlockRead : forall a1 a2,
|
|
||||||
commutes (Unlock a1) (Read a2)
|
|
||||||
| ComUnlockWrite : forall a1 a2 v,
|
|
||||||
commutes (Unlock a1) (Write a2 v)
|
|
||||||
| ComUnlockLock : forall a1 a2,
|
|
||||||
a1 <> a2
|
|
||||||
-> commutes (Unlock a1) (Lock a2)
|
|
||||||
| ComUnlockUnlock : forall a1 a2,
|
|
||||||
a1 <> a2
|
|
||||||
-> commutes (Unlock a1) (Unlock a2)
|
|
||||||
|
|
||||||
| CommFail : forall c,
|
Lemma commutes_sound : forall h l c2 h' l' c2',
|
||||||
commutes c Fail
|
|
||||||
| CommReturn : forall c r,
|
|
||||||
commutes c (Return r)
|
|
||||||
| CommBind : forall c c1 c2,
|
|
||||||
commutes c c1
|
|
||||||
-> (forall r, commutes c (c2 r))
|
|
||||||
-> commutes c (Bind c1 c2)
|
|
||||||
| CommPar : forall c c1 c2,
|
|
||||||
commutes c c1
|
|
||||||
-> commutes c c2
|
|
||||||
-> commutes c (Par c1 c2).
|
|
||||||
|
|
||||||
Lemma commutes_sound1 : forall h l c2 h' l' c2',
|
|
||||||
step (h, l, c2) (h', l', c2')
|
step (h, l, c2) (h', l', c2')
|
||||||
-> forall c1 h'' l'' c1', step (h', l', c1) (h'', l'', c1')
|
-> forall s c1 h'' l'' c1', step (h', l', c1) (h'', l'', c1')
|
||||||
-> commutes c1 c2
|
-> summarize c2 s
|
||||||
|
-> commutes c1 s
|
||||||
-> exists h1 l1, step (h, l, c1) (h1, l1, c1')
|
-> exists h1 l1, step (h, l, c1) (h1, l1, c1')
|
||||||
/\ step (h1, l1, c2) (h'', l'', c2').
|
/\ step (h1, l1, c2) (h'', l'', c2').
|
||||||
Proof.
|
Proof.
|
||||||
induct 1; simplify; eauto.
|
induct 1; simplify; eauto.
|
||||||
|
|
||||||
invert H1.
|
invert H1.
|
||||||
apply IHstep in H0; first_order.
|
eapply IHstep in H0; eauto; first_order.
|
||||||
eauto.
|
eauto.
|
||||||
|
|
||||||
invert H0; invert H; eauto.
|
invert H0; invert H; simplify; propositional; eauto.
|
||||||
do 2 eexists; propositional.
|
do 2 eexists; propositional.
|
||||||
eauto.
|
eauto.
|
||||||
replace (h' $! a) with (h' $+ (a1, v) $! a) by (simplify; equality).
|
assert (a <> a0) by sets.
|
||||||
|
replace (h' $! a) with (h' $+ (a0, v) $! a) by (simplify; equality).
|
||||||
eauto.
|
eauto.
|
||||||
|
|
||||||
invert H0; invert H; eauto.
|
invert H0; invert H; simplify; propositional; eauto.
|
||||||
simplify.
|
|
||||||
eauto.
|
|
||||||
do 2 eexists; propositional.
|
do 2 eexists; propositional.
|
||||||
eauto.
|
eauto.
|
||||||
replace (h $+ (a, v) $+ (a1, v1)) with (h $+ (a1, v1) $+ (a, v)) by maps_equal.
|
assert (a <> a0) by sets.
|
||||||
|
replace (h $+ (a, v) $+ (a0, v0)) with (h $+ (a0, v0) $+ (a, v)) by maps_equal.
|
||||||
eauto.
|
eauto.
|
||||||
|
|
||||||
invert H1.
|
invert H1.
|
||||||
eapply IHstep in H5; eauto.
|
|
||||||
first_order; eauto.
|
|
||||||
|
|
||||||
invert H1.
|
invert H1.
|
||||||
eapply IHstep in H6; eauto.
|
|
||||||
first_order; eauto.
|
|
||||||
|
|
||||||
invert H1; invert H0; eauto.
|
invert H1; invert H0; simplify; propositional; eauto.
|
||||||
do 2 eexists; propositional.
|
do 2 eexists; propositional.
|
||||||
constructor.
|
constructor.
|
||||||
sets.
|
sets.
|
||||||
replace ((l \cup {a}) \cup {a1}) with ((l \cup {a1}) \cup {a}) by sets.
|
replace ((l \cup {a}) \cup {a0}) with ((l \cup {a0}) \cup {a}) by sets.
|
||||||
constructor.
|
constructor.
|
||||||
sets.
|
sets.
|
||||||
do 2 eexists; propositional.
|
do 2 eexists; propositional.
|
||||||
constructor.
|
constructor.
|
||||||
sets; propositional.
|
sets; propositional.
|
||||||
replace (l \cup {a} \setminus {a1}) with ((l \setminus {a1}) \cup {a}) by sets.
|
replace (l \cup {a} \setminus {a0}) with ((l \setminus {a0}) \cup {a}) by sets.
|
||||||
constructor.
|
constructor.
|
||||||
sets.
|
sets.
|
||||||
|
|
||||||
invert H1; invert H0; eauto.
|
invert H1; invert H0; simplify; propositional; eauto.
|
||||||
do 2 eexists; propositional.
|
do 2 eexists; propositional.
|
||||||
constructor.
|
constructor.
|
||||||
sets.
|
sets.
|
||||||
replace ((l \setminus {a}) \cup {a1}) with ((l \cup {a1}) \setminus {a}) by sets.
|
replace ((l \setminus {a}) \cup {a0}) with ((l \cup {a0}) \setminus {a}) by sets.
|
||||||
constructor.
|
constructor.
|
||||||
sets.
|
sets.
|
||||||
do 2 eexists; propositional.
|
do 2 eexists; propositional.
|
||||||
constructor.
|
constructor.
|
||||||
sets; propositional.
|
sets; propositional.
|
||||||
replace ((l \setminus {a}) \setminus {a1}) with ((l \setminus {a1}) \setminus {a}) by sets.
|
replace ((l \setminus {a}) \setminus {a0}) with ((l \setminus {a0}) \setminus {a}) by sets.
|
||||||
constructor.
|
constructor.
|
||||||
sets.
|
sets.
|
||||||
Qed.
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
Hint Constructors commutes.
|
Hint Constructors summarize.
|
||||||
|
|
||||||
Lemma commutes_sound2 : forall h l c2 h' l' c2',
|
Lemma summarize_step : forall h l c h' l' c' s,
|
||||||
step (h, l, c2) (h', l', c2')
|
step (h, l, c) (h', l', c')
|
||||||
-> forall c1, commutes c1 c2
|
-> summarize c s
|
||||||
-> commutes c1 c2'.
|
-> summarize c' s.
|
||||||
Proof.
|
Proof.
|
||||||
induct 1; invert 1; simplify; eauto.
|
induct 1; invert 1; simplify; eauto.
|
||||||
Qed.
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma summarize_steps : forall h l c h' l' c' s,
|
||||||
|
step^* (h, l, c) (h', l', c')
|
||||||
|
-> summarize c s
|
||||||
|
-> summarize c' s.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
induct 1; eauto.
|
||||||
|
cases y.
|
||||||
|
cases p.
|
||||||
|
eauto using summarize_step.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Fixpoint pow2 (n : nat) : nat :=
|
||||||
|
match n with
|
||||||
|
| O => 1
|
||||||
|
| S n' => pow2 n' * 2
|
||||||
|
end.
|
||||||
|
|
||||||
|
Inductive boundRunningTime : cmd -> nat -> Prop :=
|
||||||
|
| BrtReturn : forall r,
|
||||||
|
boundRunningTime (Return r) 0
|
||||||
|
| BrtFail :
|
||||||
|
boundRunningTime Fail 0
|
||||||
|
| BrtRead : forall a,
|
||||||
|
boundRunningTime (Read a) 1
|
||||||
|
| BrtWrite : forall a v,
|
||||||
|
boundRunningTime (Write a v) 1
|
||||||
|
| BrtLock : forall a,
|
||||||
|
boundRunningTime (Lock a) 1
|
||||||
|
| BrtUnlock : forall a,
|
||||||
|
boundRunningTime (Unlock a) 1
|
||||||
|
| BrtBind : forall c1 c2 n1 n2,
|
||||||
|
boundRunningTime c1 n1
|
||||||
|
-> (forall r, boundRunningTime (c2 r) n2)
|
||||||
|
-> boundRunningTime (Bind c1 c2) (S (n1 + n2))
|
||||||
|
| BrtPar : forall c1 c2 n1 n2,
|
||||||
|
boundRunningTime c1 n1
|
||||||
|
-> boundRunningTime c2 n2
|
||||||
|
-> boundRunningTime (Par c1 c2) (pow2 (n1 + n2)).
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma pow2_pos : forall n,
|
||||||
|
pow2 n > 0.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
induct n; simplify; auto.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma pow2_mono : forall n m,
|
||||||
|
n < m
|
||||||
|
-> pow2 n < pow2 m.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
induct 1; simplify; auto.
|
||||||
|
specialize (pow2_pos n); linear_arithmetic.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Hint Resolve pow2_mono.
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma pow2_incr : forall n,
|
||||||
|
n < pow2 n.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
induct n; simplify; auto.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Hint Resolve pow2_incr.
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma pow2_inv : forall n m,
|
||||||
|
pow2 n <= m
|
||||||
|
-> n < m.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
simplify.
|
||||||
|
specialize (pow2_incr n).
|
||||||
|
linear_arithmetic.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma use_pow2 : forall n m k,
|
||||||
|
pow2 m <= S k
|
||||||
|
-> n <= m
|
||||||
|
-> n <= k.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
simplify.
|
||||||
|
apply pow2_inv in H.
|
||||||
|
linear_arithmetic.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma use_pow2' : forall n m k,
|
||||||
|
pow2 m <= S k
|
||||||
|
-> n < m
|
||||||
|
-> pow2 n <= k.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
simplify.
|
||||||
|
specialize (@pow2_mono n m).
|
||||||
|
linear_arithmetic.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Hint Constructors boundRunningTime.
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma boundRunningTime_step : forall c n h l h' l',
|
||||||
|
boundRunningTime c n
|
||||||
|
-> forall c', step (h, l, c) (h', l', c')
|
||||||
|
-> exists n', boundRunningTime c' n' /\ n' < n.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
induct 1; invert 1; simplify; eauto.
|
||||||
|
|
||||||
|
apply IHboundRunningTime in H4; first_order; subst.
|
||||||
|
eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
linear_arithmetic.
|
||||||
|
|
||||||
|
apply IHboundRunningTime1 in H3; first_order; subst.
|
||||||
|
eauto 6.
|
||||||
|
|
||||||
|
apply IHboundRunningTime2 in H3; first_order; subst.
|
||||||
|
eauto 6.
|
||||||
|
|
||||||
|
invert H.
|
||||||
|
simplify.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Require Import Classical.
|
||||||
|
|
||||||
|
Theorem complete_trace : forall k c n,
|
||||||
|
boundRunningTime c n
|
||||||
|
-> n <= k
|
||||||
|
-> forall h l, exists h' l' c', step^* (h, l, c) (h', l', c')
|
||||||
|
/\ (forall h'' l'' c'',
|
||||||
|
step (h', l', c') (h'', l'', c'')
|
||||||
|
-> False).
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
induct k; simplify.
|
||||||
|
invert H; try linear_arithmetic.
|
||||||
|
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H.
|
||||||
|
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H.
|
||||||
|
specialize (pow2_pos (n1 + n2)).
|
||||||
|
linear_arithmetic.
|
||||||
|
|
||||||
|
invert H.
|
||||||
|
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H.
|
||||||
|
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H.
|
||||||
|
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
apply trc_one.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H.
|
||||||
|
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
apply trc_one.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H.
|
||||||
|
|
||||||
|
destruct (classic (a \in l)).
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H1.
|
||||||
|
sets.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
apply trc_one.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H1.
|
||||||
|
|
||||||
|
destruct (classic (a \in l)).
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
apply trc_one.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H1.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H1.
|
||||||
|
sets.
|
||||||
|
|
||||||
|
eapply IHk in H1; eauto; first_order.
|
||||||
|
cases x1.
|
||||||
|
specialize (H2 r).
|
||||||
|
eapply IHk in H2; eauto; first_order.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eapply trc_trans.
|
||||||
|
apply StepBindRecur_star.
|
||||||
|
eassumption.
|
||||||
|
eapply TrcFront.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
eassumption.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
apply StepBindRecur_star.
|
||||||
|
eassumption.
|
||||||
|
invert H3.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
apply StepBindRecur_star.
|
||||||
|
eassumption.
|
||||||
|
invert H3.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
apply StepBindRecur_star.
|
||||||
|
eassumption.
|
||||||
|
invert H3.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
apply StepBindRecur_star.
|
||||||
|
eassumption.
|
||||||
|
invert H3.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
apply StepBindRecur_star.
|
||||||
|
eassumption.
|
||||||
|
invert H3.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
apply StepBindRecur_star.
|
||||||
|
eassumption.
|
||||||
|
invert H3.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
apply StepBindRecur_star.
|
||||||
|
eassumption.
|
||||||
|
invert H3.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
|
||||||
|
assert (Hb1 : boundRunningTime c1 n1) by assumption.
|
||||||
|
assert (Hb2 : boundRunningTime c2 n2) by assumption.
|
||||||
|
eapply IHk in H1; eauto using use_pow2; first_order.
|
||||||
|
invert H.
|
||||||
|
eapply IHk in H2; eauto using use_pow2; first_order.
|
||||||
|
invert H.
|
||||||
|
cases x1.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
apply trc_one.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H; eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H; eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H; eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H; eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H; eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H; eauto.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
invert H; eauto.
|
||||||
|
cases y.
|
||||||
|
cases p.
|
||||||
|
specialize (boundRunningTime_step Hb2 H3); first_order.
|
||||||
|
assert (boundRunningTime (Par x1 c) (pow2 (n1 + x3))) by eauto.
|
||||||
|
eapply IHk in H6; eauto using use_pow2'; first_order.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eapply TrcFront.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
eassumption.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
cases y.
|
||||||
|
cases p.
|
||||||
|
specialize (boundRunningTime_step Hb1 H3); first_order.
|
||||||
|
assert (boundRunningTime (Par c c2) (pow2 (x2 + n2))) by eauto.
|
||||||
|
eapply IHk in H6; eauto using use_pow2'; first_order.
|
||||||
|
do 3 eexists; propositional.
|
||||||
|
eapply TrcFront.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
eassumption.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma notAboutToFail_step : forall h l c h' l' c',
|
||||||
|
step (h, l, c) (h', l', c')
|
||||||
|
-> notAboutToFail c = false
|
||||||
|
-> notAboutToFail c' = false.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
induct 1; simplify; eauto; try equality.
|
||||||
|
|
||||||
|
apply andb_false_iff in H0.
|
||||||
|
apply andb_false_iff.
|
||||||
|
propositional.
|
||||||
|
|
||||||
|
apply andb_false_iff in H0.
|
||||||
|
apply andb_false_iff.
|
||||||
|
propositional.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma notAboutToFail_steps : forall h l c h' l' c',
|
||||||
|
step^* (h, l, c) (h', l', c')
|
||||||
|
-> notAboutToFail c = false
|
||||||
|
-> notAboutToFail c' = false.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
induct 1; simplify; eauto.
|
||||||
|
cases y.
|
||||||
|
cases p.
|
||||||
|
eauto using notAboutToFail_step.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma boundRunningTime_steps : forall h l c h' l' c',
|
||||||
|
step^* (h, l, c) (h', l', c')
|
||||||
|
-> forall n, boundRunningTime c n
|
||||||
|
-> exists n', boundRunningTime c' n' /\ n' <= n.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
induct 1; simplify; eauto.
|
||||||
|
cases y.
|
||||||
|
cases p.
|
||||||
|
specialize (boundRunningTime_step H1 H); first_order.
|
||||||
|
eapply IHtrc in H2; eauto.
|
||||||
|
first_order.
|
||||||
|
eauto.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma translate_trace : forall h l c h' l' c',
|
||||||
|
step^* (h, l, c) (h', l', c')
|
||||||
|
-> (forall h'' l'' c'', step (h', l', c') (h'', l'', c'') -> False)
|
||||||
|
-> notAboutToFail c' = false
|
||||||
|
-> forall cs, summarizeThreads c cs
|
||||||
|
-> exists h' l' cs', stepC^* (h, l, cs) (h', l', cs')
|
||||||
|
/\ Exists (fun c_s => notAboutToFail (fst c_s) = false) cs'.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
Admitted.
|
||||||
|
|
||||||
|
Lemma Forall_Exists_contra : forall A (f : A -> bool) ls,
|
||||||
|
Exists (fun x => f x = false) ls
|
||||||
|
-> Forall (fun x => f x = true) ls
|
||||||
|
-> False.
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
induct 1; invert 1; equality.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
||||||
|
Theorem step_stepC : forall h l c (cs : list (cmd * summary)) n,
|
||||||
|
summarizeThreads c cs
|
||||||
|
-> boundRunningTime c n
|
||||||
|
-> invariantFor (trsys_ofC h l cs) (fun p => let '(_, _, cs) := p in
|
||||||
|
List.Forall (fun c_s => notAboutToFail (fst c_s) = true) cs)
|
||||||
|
-> invariantFor (trsys_of h l c) (fun p =>
|
||||||
|
let '(_, _, c) := p in
|
||||||
|
notAboutToFail c = true).
|
||||||
|
Proof.
|
||||||
|
simplify.
|
||||||
|
apply NNPP; propositional.
|
||||||
|
unfold invariantFor in H2.
|
||||||
|
apply not_all_ex_not in H2; first_order.
|
||||||
|
apply imply_to_and in H2; propositional.
|
||||||
|
apply not_all_ex_not in H4; first_order.
|
||||||
|
apply imply_to_and in H2; propositional.
|
||||||
|
cases x0.
|
||||||
|
cases p.
|
||||||
|
subst.
|
||||||
|
simplify.
|
||||||
|
cases (notAboutToFail c0); propositional.
|
||||||
|
assert (exists n', boundRunningTime c0 n' /\ n' <= n) by eauto using boundRunningTime_steps.
|
||||||
|
first_order.
|
||||||
|
eapply complete_trace in H2; eauto.
|
||||||
|
first_order.
|
||||||
|
specialize (trc_trans H4 H2); simplify.
|
||||||
|
assert (notAboutToFail x2 = false) by eauto using notAboutToFail_steps.
|
||||||
|
unfold invariantFor in H1; simplify.
|
||||||
|
eapply translate_trace in H7; eauto.
|
||||||
|
first_order.
|
||||||
|
apply H1 in H7; auto.
|
||||||
|
eapply Forall_Exists_contra.
|
||||||
|
apply H9.
|
||||||
|
assumption.
|
||||||
|
Qed.
|
||||||
|
|
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