{-# OPTIONS --cubical #-}

open import Cubical.Foundations.Prelude
open import Cubical.Foundations.Equiv
open import Cubical.Foundations.Isomorphism
open import Cubical.Foundations.Univalence

-- Path induction

path-ind : {A : Set}
  → (C : (x y : A) → x ≡ y → Set)
  → (c : (x : A) → C x x refl)
  → (x y : A) → (p : x ≡ y) → C x y p
path-ind C c x y p = ?

-- Lemma 2.1.1

-- TODO: Not sure if there's actually a way to express inductive principle of
-- identity in code?
lemma211 : {A : Set} → (x y : A) → (x ≡ y) → (y ≡ x)
lemma211 x y p = (λ i → p (~ i))

D : {A : Set} → (x y : A) → x ≡ y → Set
D x y p = y ≡ x

d : {A : Set} → (x : A) → D x x refl
d x = refl

-- Lemma 2.1.2

lemma212 : {A : Set} → {x y z : A} → (x ≡ y) → (y ≡ z) → (x ≡ z)
lemma212 p q = p ∙ q
-- (x ≡ z) i0 = x
-- (x ≡ z) i1 = z
--
-- if i = i0 then
--   p i0 = x
--   q i0 = y
--
-- if i = i1 then
--   p i1 = y
--   q i1 = z
--
-- overall
--   p i = i0 ∧ i
--   q i = i1 ∨ i

-- Lemma 2.11.1

ap : {A B : Set} (f : A → B) {x y : A} → x ≡ y → f x ≡ f y
ap f p i = f (p i)

lemma2111 : {A B : Set} → (f : A → B) → (ie : isEquiv f) → {a a′ : A}
  → isEquiv (ap f)
lemma2111 f ie .equiv-proof y = ?

-- Lemma 2.11.2

lemma2112a : {A : Set} → (a : A) → {x₁ x₂ : A} → (p : x₁ ≡ x₂) → (q : a ≡ x₁)
  → transport ? p ≡ q ∙ p
lemma2112a a p q = ?

-- Lemma 2.11.3

lemma2113 : {A B : Set}
  → (f g : A → B)
  → {a a′ : A}
  → (p : a ≡ a′)
  → (q : f a ≡ g a)
  → Set
  -- TODO:
  -- → transport (λ i → f a′ ≡ g a′) x ≡ (sym (ap f p)) ∙ q ∙ (ap g p)